Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства

Рассмотрим векторы

Определение 4. Вектор также принадлежит V и называется линейной комбинацией векторов Числа называются коэффициентами этой комбинации.

Определение 5. Комбинация называется тривиальной, если все ; если есть ненулевые коэффициенты, то она называется нетривиальной.

Определение 6.Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Если только тривиальная комбинация равна нулевому вектору, то система называется линейно независимой.

Система, состоящая из одного ненулевого вектора x, линейно независима т. к. возможно лишь при . Система, состоящая из нулевого вектора , линейно зависима, т. к. даже при .

Пример 5. В линейном пространстве любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. Пусть векторы х вектора линейно зависимо и коллинеарны. Из этого следует, что существует такое число , что . Тогда – нетривиальная комбинация, равная нулевому вектору.

Для векторов линейного пространства справедливы следующие утверждения:

1. Если к системе n линейно зависимых векторов присоединить любые m векторов, то получим систему n + m линейно зависимых векторов.

2. Если в системе, содержащей n линейно независимых векторов, убрать любые m векторов (m ‹ n), то оставшиеся векторы образуют линейно независимую систему.

3. Если среди векторов имеются и такие, что , где – число, то векторы линейно зависимы.

4. Если среди векторов имеется нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Теорема. (Критерий линейной зависимости векторов). Для того, чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

 

 

36. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора линейного пространства.

 

Определение 7.Пусть в линейном пространстве V выполняются следующие условия:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Тогда число n называется размерностью пространства V. Если пространство состоит из одного элемента, то её размерность положим равной 0.

Обозначается размерность (от англ. dimension – размерность).

Определение 8. Пространство V размерности n будем называть n-мерным пространством.

Определение 9. Базисом n -мерного пространства называется любой упорядоченный набор из n линейно независимых векторов.

Теорема. Если – базис n-мерного пространства V, то любой вектор этого пространства линейно выражается через векторы , т. е.

.

Пусть . Тогда система из n + 1 вектора линейно зависима, т. е. .

Число , т. к. иначе получилась бы нетривиальная комбинация векторов равная нулю. Выражаем вектор из этого уравнения:

, что и требовалось доказать.

Теорема. Если – система линейно независимых векторов пространства V и любой вектор этого пространства линейно выражается через , то пространство V является n-мерным.

Пример 6.В пространстве из примера 1 базис образуют три вектора . Они линейно независимы, и каждый вектор линейно выражается через них. Следовательно, размерность пространства равна трём.

Пусть заданы два линейных пространства V и . Если между элементами этих пространств установлено взаимнооднозначное соответствие, причём соответствует , то пишут .

Определение 10.Два линейных вещественных пространства V и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие так, что если , , то , где – вещественное число.

Теорема. Два линейных вещественных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

Координаты вектора

Теорема. Если – базис линейного пространства, то для любого вектора этого пространства существует единственная система чисел такая, что .

Из теоремы 12.2 следует существование такой системы , что выполняется. Докажем единственность. Допустим, что существует другая система , такая, что . Тогда .

Группируя слагаемые, получим

.

Отсюда следует, что , поскольку векторы линейно независимы. Теорема доказана.

.

Выражение называется разложением вектора по базису . Это выражение можно записать в матричной форме

Числа называются координатами вектора в базисе .

Если вектор имеет в некотором базисе координаты , то пишут .

Пример 7.Пусть V - пятимерное линейное пространство с базисом . Найти координаты векторов и .

, т.е. имеет координаты (2,0,-1,3,0).

Аналогично = (0,0,1,0,0).

Справедливы следующие утверждения:

1. Вектор является нулевым вектором пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.

2. Координаты суммы двух векторов в некотором базисе равны сумме соответствующих координат этих векторов в том же базисе.

3. Координаты произведения вектора на число в некотором базисе равны произведению соответствующих координат данного вектора в том же базисе на это число.

Два вектора равны между собой тогда и только тогда, когда равны между собой их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

 

 

№ 37. Преобразование координат вектора при изменении базиса

 

Пусть в линейном пространстве V заданы два произвольных базиса и . Выразим векторы через . Пусть , где - координаты вектора в базисе .

Чтобы выразить векторы базиса через , нужно решить систему уравнений относительно векторов . Эта система имеет единственное решение, поскольку её определитель отличен от нуля.

Пусть –
решение системы. Из коэффициентов и составим матрицы:

которые называются матрицами перехода от одного базиса к другому.

Из соотношений и следует, что .

Пусть – произвольный вектор пространства V, который в базисе имеет координаты , а в базисе – , т. е.

;

.

Выясним, как преобразуются координаты вектора при переходе от одного базиса к другому. Подставим в выражение

.

Сравним полученное выражение с выражением. Коэффициенты при должны быть равны

Аналогично

В матричной форме формулы и запишутся в виде

,

где

; .

 

Евклидово пространство.

Для того, чтобы в линейном пространстве можно было измерять длины и углы, вводят новую операцию – скалярное произведение. Пусть –
n -мерное линейное пространство. Каждой паре векторов и ставится в соответствие действительное число – их скалярное произведение, обозначаемое , удовлетворяющее следующим аксиомам.

Аксиома 13.1. Скалярное произведение векторов коммутативно:

Аксиома 13.2. Скалярное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения векторов: .

Аксиома 13.3. Числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения: .

Аксиома 13.4 Скалярный квадрат вектора неотрицателен: , причём тогда и только тогда, когда .

Линейное пространство размерности n со скалярным произведением, удовлетворяющим аксиомам (13.1)-(13.4), называется n -мерным евклидовым пространством и обозначается .

Пример 3.

1. Евклидовым пространством является множество всех векторов обычного трёхмерного пространства. Скалярное произведение вводится так же, как в лекции 2, т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

2. Евклидовым пространством является множество Т функций, непрерывных на отрезке . Скалярное произведение функций f и φ определим так: . Выполнение аксиом (13.1)-(13.4) непосредственно проверяется.

3. Если в арифметическом линейном пространстве скалярное произведение векторов и задать равенством , то аксиомы (13.1)-(13.4) выполняются.

Определение13. Величиной угла между двумя векторами и называется угол такой, что , где норма вектора .