Свойства линейного дифференциального оператора

1) Постоянный множитель можно выносить за знак линейного дифференциального оператора, то есть .

2) Линейный дифференциальный оператор от суммы функций равен сумме

линейных дифференциальных операторов от слагаемых, то есть

.

При доказательстве этих свойств пользуемся соответствующими свойствами производной. Например, докажем первое свойство:

► . ◄

 

Общие свойства линейных дифференциальных уравнений

Отметим следующие два свойства ЛДУ: инвариантность ЛДУ относительно произвольной замены независимой переменной и относительно линейной замены искомой функции.

1. Линейное уравнение остается линейным при любой замене независимой переменной.

► Положим , где – произвольная функция от , непрерывно-дифференцируемая на раз, производная которой на , причем . Эти условия будут обеспечивать существование обратной функции и ее производной

.

Чтобы в уравнении (1) заменить независимую переменную другой независимой переменной , надо выразить все производные от по через производные от по .

Находим

,

.

Вторая производная от по заменяется функцией линейной и однородной относительно производных от по , содержащей производные не выше 2-го порядка. ММИ можно убедиться, что любая производная -го порядка выразится в виде линейной и однородной функции, зависящей от

.

Заменяя в уравнении (1) через , а производные от по соответствующими выражениями, и умножая обе части полученного уравнения на , получим уравнение -го порядка, линейное, с новым аргументом . При этом однородное уравнение будет преобразовано в однородное уравнение.

Если удастся найти общее решение преобразованного уравнения, то заменяя в нем через , мы получим решение исходного уравнения. ◄

2. Линейное уравнение остается линейным при любой линейной замене искомой функции по формуле , где – произвольная функция, -раз непрерывно-дифференцируемая, а – новая искомая функция.

► Используя формулу Лейбница для производных высших порядков от произведения функций, запишем, каким выражением будут заменяться

производные

.

Замечаем, что является линейной однородной функцией относительно

. Поэтому, заменяя функцию и ее производные по соответствующим формулам, получим линейное уравнение -го порядка, причем, если исходное уравнение было однородным, то преобразованное уравнение также будет однородным. ◄

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения

С переменными коэффициентами

 

О решениях ЛОДУ

Теорема 1.

Если – решения ЛОДУ (1), то любая линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными

,

также является решением уравнения (1).

► Рассмотрим .

Так как , то , а поэтому – решение уравнения (1). ◄

Пусть мы нашли частных решений ЛОДУ -го порядка. Тогда по теореме 1 (2), где – произвольные постоянные, также есть решение уравнения (1). Известно, что общее решение уравнения -го порядка содержит произвольных постоянных. Возникает вопрос, будет ли решение , составленное из любых частных решений, общим решением уравнения (1).

Убедимся в том, что решение, составленное из любых частных решений,

не всегда будет общим. Например, если возьмем , то функция (2) в этом

случае примет вид . Так как есть произво-

льная постоянная, которая может быть обозначена просто через , то функция будет содержать произвольных постоянных и поэтому не является общим решением. Ясно, что функция (2) не всегда дает общее решение. Возникает вопрос, какими функциями должны быть частные решения, чтобы формула (2) давала общее решение. Этот вопрос разрешается в связи с понятием линейной зависимости функций.

 

Условие линейной независимости

(зависимости) системы функций.

Определение. Система функций называется линейно зависимой на отрезке , если существуют НЕРОН, такие, что имеет место тождество на отрезке . В противном случае эта система называется линейно независимой.

Пример.

1. Функции линейно зависимы на . Действительно, существуют постоянные такие, что имеет место тождество .

2. Функции линейно независимы на , так как условие

не может выполняться тождественно, когда не все . Действительно, это равенство есть алгебраическое уравнение, оно может быть справедливо не более как для значений .

Система из двух функций , является линейно зависимой, если

,

если же

на ,

то система функций линейно независимая на отрезке .

Определение. Определителем Вронского, составленным для функций на отрезке , называется определитель вида

.

Теорема 2. Для того, чтобы система функций , являющихся решением ЛОДУ, была линейно независимой на необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского, составленный для этих функций, был отличен от нуля при любых .