Структура общего решения ЛНДУ

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение

(1)

Определение. Линейное однородное дифференциальное уравнение

( 2)

левая часть которого совпадает с левой частью уравнения (1) называется ЛОДУ, соответствующим данному ЛНДУ (1).

Теорема 4. Пусть дано уравнение (1) с коэффициентами , непрерывными на отрезке . Общее решение ЛНДУ (1) есть сумма общего решения соответствующего ему ЛОДУ и некоторого частного решения данного ЛНДУ.

► Пусть – общее решение ЛОДУ (2), – частное решение уравнения (1), тогда общее решение уравнения (1) имеет вид

. (3)

Докажем, что (3) является решением ЛНДУ. В силу свойства линейного оператора имеем

,

а это означает, что – решение ЛНДУ.

Докажем, что (3) является общим решением уравнения (1). Пусть

- фундаментальная система решений ЛОДУ (2), тогда решение (3)уравнения (1) примет вид

. (3)

Дальнейшие рассуждения такие же, как в теореме 3. Задаем произвольные нача-

льные условия ,

(4) и покажем, что из (3) при соответствующем подборе произвольных постоянных получается решение, удовлетворяющее этим началь-

ным условиям. Чтобы функция (3) была решением уравнения (1), удовлетворя-

ющим начальным условиям (4), должны выполняться следующие равенства:

(5)

Система (4) является линейной неоднородной системой уравнений относительно неизвестных . Определителем этой системы является определитель Вронского, составленный для функций в точке . Так как по условию теоремы система функций линейно независимая на отрезке , то имеем . Следовательно, система уравнений (5) имеет единственное решение (6). Подставляя (6) в формулу (3), получаем – частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (4).

Так как начальные условия были произвольными, то можно утверждать, что функция (3) позволяет решать любую задачу Коши, а поэтому (3) – общее решение уравнения (1). ◄

 

Метод вариации произвольных постоянных

Нахождения решения ЛНДУ

Метод вариации произвольных постоянных – это есть метод нахождения решения (частного или общего) ЛНДУ, если известна фундаментальная система решений соответствующего ЛОДУ. Он состоит в варьировании произвольных постоянных в общем решении соответствующего ЛОДУ.

Рассмотрим метод вариации нахождения решения для ЛНДУ второго порядка. Для линейного уравнения -го порядка сохраняются те же рассуждения.

Пусть дано ЛНДУ

, (1)

и известна фундаментальная система решений соответствующего ему ЛОДУ

. (2)

Общее решение ЛОДУ будет (теорема 3). Так как левые части уравнений (1) и (2) совпадают, то естественно искать решение уравнения (1) в таком же виде, как и решение уравнения (2), немного изменив его, т.е. заменяя произвольные постоянные пока неизвестными функциями и , которые должны быть дважды дифференцируемыми.

Итак, решение уравнения (1) будем искать в виде:

. (3)

Нужно подобрать и таким образом, чтобы (3) было решением уравнения (1). Для этого подставим функцию (3) в уравнение (1). Получим равенство, содержащее неизвестные функции и . Другое равенство, содержащее эти функции, можем задать произвольно. Предварительно найдем

.

Очевидно, что производная от этого выражения будет иметь довольно громоздкий вид. Чтобы производная , а следовательно и имели более

простой вид, полагаем, что и удовлетворяют условию

. (4)

Тогда производные , примут вид

, (5)

. (6)

Подставляя (3), (5) и (6) в уравнение (1), получим

Далее, группируем слагаемые, содержащие и , и выносим их за скобки:

Так как – решения ЛОДУ (2), то выражения в скобках равны нулю. В итоге получаем равенство

(7)

Равенство (7) является результатом подстановки функции (3) в уравнение (1) Но равенство (7) получено при условии выполнения (4). Итак, чтобы (3) было решением уравнения (1) и должны быть решениями системы уравнений

(8)

Данная система – система неоднородных линейных уравнений относительно неизвестных и . Ее определитель

есть определитель Вронского, составленный для линейно независимых частных решений . Тогда по теореме 2 он отличен от 0 во всех рассматриваемых

точках и система (8) имеет единственное решение , .

Откуда

где – произвольные постоянные. Подставляя найденные в (3), получаем

(9)

общее решение уравнения (1). Если положить в (9) , то получим частное решение ЛНДУ (1).

Для ЛНДУ -го порядка общее решение ищется в виде

,

где – фундаментальная система решений соответствующе-го ЛОДУ, а определяются из следующей системы уравнений

Общее решение ЛНДУ запишется в виде

.

 

Формула Лиувилля

Формула Лиувилля позволяет выразить определитель Вронского решений ЛОДУ через коэффициенты уравнения.

Выведем эту формулу для ЛОДУ 2-го порядка:

(1)

Пусть – фундаментальная система решений уравнения (1). Вычислим определитель Вронского, составленный для этих функций:

.

 

Так как – решения уравнения (1), то получаем следующие равенства:

(2)

Будем рассматривать (2) как систему уравнений с неизвестными и :

()

Из этой системы найдем . Для этого вычислим

,

.

Тогда

Разделяя переменные и интегрируя, получим

, ,

. (3)

Эта формула и называется формулой Лиувилля. Другая запись формулы:

.

Полагая , получим и формула Лиувилля принимает вид:

.

Для уравнения го порядка

формула Лиувилля имеет такой же вид:

,

где коэффициент при , и получена она может быть с помощью аналогичных рассуждений.