Достаточные признаки сходимости ряда

 

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков.

Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

 

Признаки сравнения рядов.

 

Сходимость или расходимость числовых рядов с положительными членами часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы, которые примем без доказательства.

Теорема 1.3. Пусть даны два ряда с положительными членами:

(1.8)

и

(1.9)

Если для всех выполняется неравенство , то

1) из сходимости ряда (1.9) следует сходимость ряда (1.8);

2) из расходимости ряда (1.8) следует расходимость ряда (1.9).

 

Надо отметить, что теорема 1.3 справедлива и в том случае, когда неравенство выполняется не для всех членов рядов (1.8) и (1.9), а начиная с некоторого номера . Это вытекает из свойства 3 числовых рядов.

 

Теорема 1.4 (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда (1.8) и (1.9) с положительными членами. Если существует конечный, отличный от нуля, предел

где , то ряды (1.8) и (1.9) сходятся или расходятся одновременно.

 

Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , который сходится, так как . Имеем . Следовательно, данный ряд сходится.,

Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь . Возьмем для сравнения гармонический ряд , который расходится. Имеем . Следовательно, данный ряд расходится.,

Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим предельный признак сравнения, используя гармонический ряд . Так как , то данный ряд расходится.,

Признак Даламбера

 

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717 – 1783, французский математик) позволяет часто решать вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самими рядами.

 

Теорема 1.5 (признак Даламбера). Пусть дан ряд (1.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится.

 

При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида или .

Пример 1.8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Даламбера:

, .

Находим

.

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.,

Пример 1.9. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Даламбера:

, .

Находим

.

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера расходится.

,

 

Радикальный признак Коши

 

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости числового ряда с положительными членами. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.

 

Теорема 1.6 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд (1.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится.

При радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.

Пример 1.10. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как

,

то применим радикальный признак Коши к ряду .

.

Ряд сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству 1 числовых рядов.,

 

Интегральный признак Коши

 

Теорема 1.7 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд

,

члены которого являются значениями непрерывной положительной функции при целых значениях аргумента :

,

и пусть монотонно убывает на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если несобственный интеграл расходится.

Надо отметить, что вместо интеграла можно брать интеграл , где . Отбрасывание первых членов ряда, как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

Пример 1.11. Исследовать на сходимость ряд

, (1.10)

где - действительное число, ряд называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

Решение. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке , при . Воспользуемся интегральным признаком Коши и исследуем на сходимость несобственный интеграл .

При имеем

.

При получаем гармонический ряд , который расходится.

Таким образом, при ряд Дирихле расходится, а при ряд Дирихле сходится.

,

Пример 1.12. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке . Находим

.

 

Поскольку несобственный интеграл расходится, то и исходный ряд расходится.

,

Пример 1.13. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию , которая непрерывна и монотонно убывает на промежутке .

Находим

.

 

Поскольку несобственный интеграл сходится, то и исходный ряд сходится.

,

2. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ И

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

 

Знакочередующиеся ряды.

Признак Лейбница

 

Рассмотрим важный класс рядов, у членов которых поочередно изменяются знаки. Такие ряды называются знакочередующиеся.

Определение 2.1. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

, (2.1)

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

 

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости, установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И.Бернулли.

Теорема 2.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (2.1) сходится, если

1) последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т.е.

;

2) общий член ряда стремится к нулю, т.е.

.

При этом сумма ряда (2.1) удовлетворяет неравенствам .

 

Следствие. Остаток ряда (2.1) по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов, т.е.

.

 

Например, по признаку Лейбница ряд

сходится, т.к. выполняются условия теоремы 2.1:

1) ; 2) .