Алгебраические операции и сходимость

Теорема 4. Пусть Ряды и одновременно сходятся или расходятся. Если один из них сходится, то

Теорема 5. Два сходящихся ряда можно почленно складывать и вычитать, то есть, если ряды и сходятся, то ряд тоже сходится, причем

.

Следствие. Если два ряда и сходятся, то для любых ряд также сходится и

.

Пример 20. Найдем сумму ряда Данный ряд можно представить как сумму двух рядов: и

. Каждый из них является геометрическим рядом со знаменателем , а потому сходится. По формуле (2. 5) суммы первого и второго рядов соответственно равны:

Тогда по теореме 5

Теорема 6. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд расходится.

Пример 21. Рассмотрим ряд

Так как и ряд сходится (см. п. 1. 1, пример 14), а гармонический ряд расходится, то ряд расходится.

Теорема 7. Если оба ряда и расходятся, то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Пример 22. Рассмотрим ряд .

Так как то Следовательно, т.е. ряд сходится, и его сумма равна В то же время каждый из рядов и является расходящимся. Расходимость второго ряда очевидна: он получается из гармонического отбрасыванием двух его первых членов.

 

 

Ряды с неотрицательными членами

Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами

Пусть члены ряда при любом натуральном n удовлетворяют условию Последовательность частичных сумм такого ряда является неубывающей. Поэтому по теореме о пределе монотонной последовательности справедливо следующее утверждение.

Теорема 8. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху:

Если последовательность не ограничена сверху, то ряд расходится.

Пример 24. Исследовать на сходимость ряд

Так как то

поэтому ряд сходится.

Признаки сравнения

Теорема 9 (первый признак сравнения). Пусть даны два ряда:

(3.1),

(3.2)

с неотрицательными членами:

Если то из сходимости ряда (3.2) с «большими» членами следует сходимость ряда (3.1) c «меньшими» членами, а из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2). Ряд (3.2) называют мажорантным для ряда (3.1).

Пример 25. Исследовать на сходимость ряд Так как и ряд сходится (как обобщенный гармонический), то по признаку сравнения исходный ряд сходится.

Пример 26. Исследовать на сходимость ряд Так как и гармонический ряд расходится, то данный ряд расходится.

Пример 27. Исследовать на сходимость ряд

При имеем Тогда

Ряд сходится (как обобщенный гармонический), следовательно, по признаку сравнения исходный ряд сходится.

Пример 28. Ряд сходится, так как (для 3> n), и ряд сходится.

Пример 29. Ряд расходится, так как для достаточно

больших n и так как гармонический ряд расходится.

Теорема 10 (второй признак сравнения). Пусть даны два ряда:

и с положительными членами: Если то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда

Теорема 11 (предельный признак сравнения). Если для всех и если то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

В частности, если при , т. е. если то ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Если то из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Пример 30. Исследовать на сходимость ряд

Подберем подходящий для сравнения эталонный ряд. Рассмотрим поведение числителя и знаменателя общего члена ряда при

,

.

Возьмем и в качестве эталонного ряда рассмотрим обобщенный гармонический ряд . Найдем

Предел конечен и отличен от нуля, условие предельного признака сравнения выполнено. Эталонный ряд расходится, значит исходный ряд по предельному признаку сравнения тоже расходится.

Пример 31. Исследовать на сходимость ряд .

Преобразуем формулу общего члена ряда:

Так как при , и ряд сходится, то и исходный ряд сходится.

Пример 32. Ряд расходится, так как

и гармонический ряд расходится.

Пример 33. Исследовать на сходимость ряд

Так как предел отношения общих членов данного ряда и ряда равен нулю:

, то по

предельному признаку сравнения из сходимости ряда следует сходимость исходного ряда.

Пример 34. Исследовать на сходимость ряд

Из асимптотических формул , при следует, что где Так как геометрический ряд сходится, то и данный ряд также сходится.

Пример 35. Исследовать на сходимость ряд

Так как , то при Из сходимости ряда вытекает сходимость данного ряда.

Признаки Даламбера и Коши

Теорема 12 (признак Даламбера). Пусть дан ряд:

Если то ряд сходится.

Если же то ряд расходится.

(Жан Лерон Д`Аламбер (1717-1783) – один из самых разносторонних и влиятельных ученых Франции. Математик, физик, механик, автор физико-математической части «Энциклопедии» Д. Дидро, а также ряда трудов по музыке и эстетике.)

Признак Даламбера часто применяется в предельной форме: если существует верхний предел:

то при ряд сходится, а при - расходится.

В случае возможна как сходимость, так и расходимость ряда (требуется провести дополнительное исследование).

Признак Даламбера позволяет дать оценку остатка ряда. Из неравенства следует, что . Отсюда

и т.д. Вообще при любом справедливо неравенство откуда следует, что

Пример 36. Исследовать сходимость ряда

Имеем тогда Очевидно,

что для По признаку Даламбера исходный ряд сходится.

Замечание. Из примера следует необходимое условие сходимости ряда, т.е.

Пример 37. Ряд сходится, т.к.

Пример 38. Исследуем на сходимость ряд .

Имеем

поэтому ряд сходится.

Пример 39. Исследовать сходимость ряда .

Имеем Отсюда

, т.е. рассматриваемый ряд сходится.

Пример 40. Исследовать сходимость ряда . Оценить погрешность приближенного равенства Найти в этом случае сумму ряда.

По признаку Даламбера: поэтому ряд сходится. Найдем . Так как

то, для того чтобы гарантировать требуемую точность, будем вычислять каждое слагаемое с семью знаками после запятой, делая округление на седьмом знаке. При такой точности вычислений ошибка при подсчете каждого слагаемого будет меньше, чем и накопление таких ошибок от пяти членов ряда будет меньше, чем Поэтому

Окончательная погрешность вычислений (т.е. сумма погрешности от отбрасывания всех членов ряда, начиная с шестого, и погрешности от неточного вычисления пяти членов ряда) будет меньше, чем

Замечание. Для оценки остатка ряда можно было воспользоваться формулой где

Теорема 13 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд:

Если то ряд сходится.

Если же то ряд расходится.

На практике обычно применяют признак Коши в предельной форме: если существует предел:

то при ряд сходится, а при – расходится.

При возможна как сходимость, так и расходимость ряда.

Пример 41. Исследуем сходимость ряда

Имеем , следовательно, по признаку Коши ряд расходится.

Пример 42. Исследуем сходимость ряда

Так как то

Поэтому данный ряд сходится.

Пример 43. Исследуем на сходимость ряд .

Используя асимптотическую формулу Стирлинга , получим

Следовательно, данный ряд расходится.