Сочетательное свойство для числовых рядов.

Посмотрим, как влияет на сходимость ряда группировка его членов.

Пример 54. Сгруппируем формально члены следующего ряда по два, начиная с первого:

Если же формально сгруппировать члены этого же ряда по два, начиная со второго, то получим:

Пример показывает, что группировка членов расходящегося ряда может привести к разным результатам.

В общем случае перепишем ряд в виде

где

Обозначим Ряд

называют группировкой ряда

Теорема 18. Если исходный ряд сходится, то любая его группировка также сходится, причем к той же сумме, которую имеет исходный ряд: .

Замечание. Обратное утверждение неверно. Рассмотрим ряд . Если то в то время как исходный ряд расходится. Однако справедлива следующая теорема.

Теорема 19. Пусть а последовательность натуральных чисел возрастает:

Тогда ряд сходится или расходится одновременно с любой его группировкой .

Пример 55. Рассмотрим ряд Этот ряд может быть просуммирован группировкой по два члена: Так как

то рассматриваемый ряд сходится. Поскольку гармонический ряд расходится,

то знакопеременный гармонический ряд сходится условно.

4. 1. 2. Переместительное свойство сходящихся рядов

Одним из важнейших свойств суммы конечного числа вещественных слагаемых является переместительное свойство. Естественно возникает вопрос, остается ли справедливым это свойство для суммы сходящегося ряда.

Определение. Если отображение является биекцией множества N натуральных чисел на себя, то ряд называется перестановкой ряда .

Пример 56. Рассмотрим условно сходящийся ряд:

.

Перестать и сгруппируем члены ряда по три следующим образом:

сумма которого равна: .

Таким образом, перестановка членов условно сходящегося ряда изменяет его сумму. В данном случае она уменьшилась вдвое. Рассмотренный пример показывает, что условно сходящийся ряд не обладает переместительным свойством. Полную ясность в вопрос о сходимости перестановки условно сходящегося ряда вносит следующее утверждение.

Теорема 21 (Коши). Если ряд сходится абсолютно, то любая его перестановка также сходится абсолютно, причем к той же сумме.

Рассмотрим ряд , общий член которого может быть представлен в виде произведения: . Приведем достаточные признаки сходимости таких рядов.

Теорема 22 (признак Абеля). Пусть дан ряд . Если последовательность монотонна и ограничена, а ряд сходится, то ряд сходится.

(Абель Нильс Хенрик(1802–1829) – норвежский математик, один из крупнейших математиков 19 века.)

Теорема 23 (признак Дирихле). Пусть дан ряд . Если последовательность частичных сумм ряда ограничена, а последовательность , начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, то ряд сходится.

(Дирихле Петер Густав Лежён (1805–1859) – немецкий математик.)

На практике при применении признаков Абеля и Дирихле в качестве последовательности чаще всего берется или последовательность , или одна из последовательностей и .

Пример 57. Пусть последовательность монотонно стремится к нулю. Тогда ряд сходится при любом , а ряд сходится при любом .

Так как

, ,

то обе суммы ограничены по абсолютной величине числом . По признаку Дирихле оба ряда сходятся при впрочем, первый ряд сходится и при ибо все его члены обращаются в нуль.

В частности, например, сходятся ряды:

, , и т.п.

Пример 58. Рассмотрим ряд .

Оценка не дает информации о поведении ряда . Покажем, что исходный ряд сходится. Положим и . Ряд сходится условно, а последовательность монотонна и ограничена . Поэтому в силу признака Абеля исходный ряд сходится. Расходимость ряда , составленного из модулей членов данного ряда, следует из неравенства и расходимости ряда . В самом деле, так как и так как ряд сходится, а ряд расходится, то ряд расходится. Поэтому в силу теоремы сравнения расходится и ряд . Итак, ряд сходится условно.

Заметим, что ряд также сходится условно.

Знакочередующиеся ряды

Определение. Знакопеременный ряд называют знакочередующимся, если каждые два соседних члена этого ряда имеют противоположные знаки.

Обычно знакочередующийся ряд записывают в виде:

(2.3)

Укажем очень простой достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда, принадлежащий Лейбницу. (Лейбниц Готфрид Вильгельм(1646–1716) – немецкий математик, физик и изобретатель, юрист, историк, философ-идеалист, языковед.)

Теорема (признак Лейбница). Пусть члены знакочередующегося ряда

(2.3) удовлетворяют условиям:

1)

2)

Тогда ряд (2.3) сходится и для его суммы S справедливо неравенство:

.

Следствие: Пусть - остаток ряда (2.3) и пусть выполнены условия 1) и 2) признака Лейбница. Тогда любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов: , и имеет одинаковый с ним знак: .

Замечание. Признак Лейбница является следствием признака Дирихле.

Пример 59. Исследовать на сходимость ряд .

Покажем, что ряды, начиная с некоторого номера, убывают по абсолютной величине. Имеем . Так как при , то, начиная с номера , выполняется неравенство . Кроме того, условия теоремы Лейбница выполнены, следовательно, ряд сходится. Затем, что ряд , составленный из модулей членов данного ряда, расходится, так как , . Поэтому исходный ряд сходится условно.

Пример 60. Исследовать на сходимость ряд .

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда: . Сравним его со сходящимся рядом :

.

Предел конечен и отличен от нуля, следовательно, ряд ведет себя так же, как и ряд , т.е. сходится. Тогда по теореме 15 исходный ряд сходится, причем абсолютно.

Пример 61. Покажем, что ряд расходится. Так как то общий член ряда не стремится к нулю. Необходимое условие сходимости ряда не выполнено, и поэтому исходный ряд расходится.

Замечание. Для сходимости знакочередующегося ряда выполнение признака Лейбница не является необходимым условием: знакочередующийся ряд может сходиться, даже если модуль его общего члена стремится к нулю не монотонно.

Так ряд сходится и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: абсолютная величина об-щего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не монотонно.

Пример 62. Исследовать сходимость ряда .

Так как по правилу Лопиталя

и

при то выполнены соответственно условия 1) и 2) признака Лейбница. Поэтому данный ряд сходится. Заметим, что ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится: Поэтому ряд сходится условно.

Пример 63. Рассмотрим ряд .

Ряд сходится в силу признака Лейбница, гармонический ряд расходится, следовательно, данный ряд расходится. В тоже время , . Поэтому делать вывод о сходимости или расхо-димости ряда по поведению ряда где , , можно

только для рядов с неотрицательными членами!

Пример 64. Рассмотрим ряд .

Используя асимптотическую формулу , получаем , где , Так как ряд сходится абсолютно, а ряд в силу признака Лейбница сходится условно, то заданный ряд сходится условно.

Пример 65. Вычислить приближенно с точностью до сумму зна-кочередующегося ряда:

Сходимость ряда следует из признака Лейбница. Так как для сходящегося ряда его сумма , то при достаточно больших n можно считать, что , причем для остатка ряда справедлива оценка

.

В данном примере . По условию задачи должно выпол-няться неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1] Гармонический ряд – это ряд, каждый член которого, начиная со второго, является средним

гармоническим его соседних членов: