Интегральный признак Коши-Маклорена

(Маклорен Колин (1698 – 1746) – шотландский математик, ученик

И.Ньютона.)

Теорема 14. Если функция неотрицательна и не возрастает на промежутке то ряд:

(3.3)

и несобственный интеграл:

(3.4)

– сходятся или расходятся одновременно.

Если ряд (3.3) и интеграл (3.4) сходятся, то справедливы следующие оценки:

(3.5)

(3.6)

где Заметим, что оценка сверху в неравенстве (3.6) является следствием оценки сверху в неравенстве (3.5).

Пример 44. Рассмотрим обобщенный гармонический ряд ,

При 0 функция положительна, убывает на промежутке При имеем:

Рассмотрим три случая:

1) если то при следовательно, т.е. интеграл расходится, а значит расходится и ряд (это мы установили выше другим способом);

2) если , то исходный ряд превращается в гармонический ряд, расходимость которого была доказана в п. 1.1, (впрочем, интеграл также расходится);

3) если , то ряд следовательно,

т.е. несобственный интеграл сходится, а значит и ряд сходится.

Если , то ряд расходится, так как в этом случае не выполнено необходимое условие сходимости ряда:

Итак, ряд сходится при и расходится при .

Пример 45. Исследовать на сходимость ряд .

Введем функцию На промежутке эта функция принимает положительные значения, а ее производная равна

. Если т.е. , то . Следовательно, положительная функция и убывает на промежутке , где

. Рассмотрим несобственный интеграл:

.

Из последнего равенства видно, что данный интеграл сходится, если , и расходится, если .

Следовательно, исследуемый ряд сходится при и расходится при .

Пример 46. Исследовать на сходимость ряд .

В этом случае непосредственное применение интегрального признака нецелесообразно, т.к. вычисление несобственного интеграла может оказаться затруднительным. Сравним общий член данного ряда с общим членом ряда

. Найдем:

Так как ряд расходится (см. предыдущий пример), то по предельному признаку сравнения исходный ряд также расходится.

Пример47. Исследовать сходимость ряда

Так как если то в силу теоремы сравнения данный ряд расходится при

Пусть . Так как по правилу Лопиталя при , то, в частности, для найдется номер , такой, что Число запишем следующим образом: , где Тогда , и так как обобщенный гармонический ряд при сходится, то в силу теоремы сравнения и исходный ряд сходится для всех значений

Вывод: ряд сходится для всех значений и ; кроме того, этот ряд сходится и для значений (см. пример 45).

Пример 48. Выясним, сколько членов ряда надо сложить, чтобы найти сумму этого ряда с точностью до 0,001.

Введем функцию , по формуле (3.6)

или Так как требуемая погрешность не должна превосходить 0,001, то потребуем, чтобы Тогда при значит для вычисления суммы ряда с требуемой точностью следует сложить по меньшей мере 1000 членов ряда! Как видим, сходимость ряда весьма «медленная».

Замечание. При решении данной задачи можно было воспользоваться и оценкой (3.5).

Метод выделения главной части

При исследовании на сходимость ряда с неотрицательными членами полезны асимптотические формулы вида:

(3.7)

(3.8)

В случае (3.7) ряд сходится при и расходится при ; в случае (3.8) ряд сходится, если или и в других случаях расходится.

Пример 49. Исследовать сходимость ряда

Здесь при так как последовательность является бесконечно малой при ряд с общим членом согласно (3.8) расходится, поэтому ряд также расходится.

Пример 50. Исследовать сходимость ряда Общий член данного ряда Здесь и согласно (3.8) исходный ряд сходится.

Пример 51. Исследовать сходимость ряда Заметим, что при предел не существует, так как не существует предел ; если то не существует, и общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, при ряд расходится. При Так как , то Согласно (3.7) данный ряд сходится при и расходится при

Окончательно получаем: исходный ряд сходится при и расходится при

Пример 52. Исследовать сходимость ряда

Используя разложения:

находим Следовательно, т.е. и поэтому ряд сходится.

 

Знакопеременные ряды

Знакопеременный ряд – это ряд, членами которого являются вещественные числа произвольного знака.

Определение. Ряд

(2.1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов:

(2.2)

Определение. Сходящийся ряд (2.1) называют условно сходящимся, если ряд (2.2) расходится.