Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их ве-

Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их ве-

роятности? Пусть A, B и C – случайные события. Перечислите все случаи наступления события .

Событие А, которое произойдет при любом испытании, называется достоверным

(А = ). Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости событие А, задаваемое условием “число выпавших очков положительное”, будет достоверным. Вероятность достоверного события равна 1.

Событие А, которое не может произойти при испытании, называется невозможным (А=пуст.множ.). Например, событие А, задаваемое условием “при подбрасывании игральной кости выпало 7 очков”, является невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

Таблица, характеризующая событие А +С

А	В	С	А +С

 

5.В каком случае событие В называют следствием события А? Какие события называются равными? Объясните, почему .

Событие А влечет за собой событие В или событие В является следствием события А (А В), если каждый исход, благоприятный для А, является благоприятным и для В. События А и В равны (А=В) в случае, когда они являются следствиями друг друга.

I) А АВ+А

Если А наступило(А=1), то: 1) если В при этом наступило, то наступило АВ АВ+А наступило; 2) если В не наступило, то =1 А =1 АВ+А наступило.

II) АВ+А А

Если АВ+А наступило, то либо АВ наступило (т.е А наступило АВ+А А) либо наступило А (А наступило АВ+А А).

Событие А наступает, т.к. любое событие А попадает в В или . А=А()=А* =А.

 

6. Пусть А и В – случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию .

(А+В)(А+ ) = АА+А +АВ+В =А+А(В+ )

 

7. Докажите, что . Что обозначает событие ?

= * *…..* . Наступление события А +….А означает, что наступает по меньшей мере одно из событий А ,….,А . Наступление противоположного события означает, что не наступает ни одно из событий А ,….,А или, по-другому, что наступают одновременно все события ,…., , но это в точности означает наступление события * *…..* . Ч.т.д.

А А + А А + А А : означает наступление ровно двух событий из трех.

 

8. Докажите, что = + +…..+ . Что означает событие А А + А А + А А ?

= + +…..+ . Наступление события А *….*А означает, что наступают каждое из событий А ,….,А . Наступление противоположного события означает, что не наступает хотя бы одно из событий А ,….,А или, по-другому, что наступают события + +…..+ . Ч.т.д.

А А + А А + А А : означает наступление не меньше двух событий.(или ровно 2 события????????)

 

9. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию ? Возможны случаи Р=0 и Р=1? Ответ обоснуйте.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит, 0<m/n<1, следовательно, 0<P(A)<1. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤Р(А)≤1.

В качестве статистической вероятности события понимают относительную частоту или число, близкое к ней. Свойства вероятностей вытекают из классического определения и сохраняются для статистического.

А – случ.событие

N – кол-во опытов, N -благ.

Р(А)= , где N N, N 0.

А- выпала игральная кость, числа которой > 7, P(A)=0

В- выпала игральная кость, числа которой < 7, P(A)=1

Какие события называются независимыми? Докажите, что если события

A и B независимы, то независимы события A и B

Если выполняется равенство Р_B(А)=Р(А) то события А и В независимы. Для двух независимых событий А и В имеем Р(АВ)=Р(А)*Р(В)- правило умножения вероятностей для двух событий.

А=АВ+АВ Þ Р(А)= Р(АВ)+Р(АВ), или Р(А)=Р(АВ)+Р(А)Р(В). Отсюда Р(АВ)=Р(А)[1-Р(В)], или Р(АВ)=Р(А)Р(В)

 

16. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий

Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите при-

Мер: пусть в опыте с бросанием двух монет события A, В, С означают: А – на первой монете выпал герб; B – на второй монете выпал герб; C – обе монеты

Ходится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно

Может ли график функции распределения быть прямой линией? Ответ обоснуйте.

Нет, не может, т.к.

 

 

44. Что такое дискретная случайная величина? Может ли таблица

Х	-10
Р	0,2	0,4	0,3

Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности f (x)? Ответ обоснуйте.

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если найдется неотрицательная функция f(x), называемая плотностью распределения, такая, что для a < b вероятность попадания X в промежуток [a, b] получается путем интегрирования данной функции

Для функции распределения F(x) имеем

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. , (неотрицательность).

2. (условие нормировки).

3. в точке непрерывности f(x).

 

Математическое ожидание непрерывной функции находится пу-тем интегрирования произведения данной функции и плотности распределения:

Произвольная случайная величина X называется сосредоточенной на промежутке [a, b], если вероятность попадания X в данный промежуток равна 1.

Плотность распределения абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], равна 0 вне [a, b].

Функцию распределения F(x) абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], можно представить в виде

Как вычисляется математическое ожидание в случае распределения с плотностью f(x)? Может ли для какой-либо абсолютно непрерывной случайной величины не существовать математического ожидания? Ответ обоснуйте.

Математическое ожидание абсолютно непрерывной СВ Х с функцией плотности f(x) определяется равенством: М(Х)= интеграл xf(x)dx от минус беск до плюс беск

Мат. ожиданием случайной величины Е называется число . Если указанный справа предел не существует, то мат. ожидание величины х также считается несуществующим.

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то , причем мат. ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Т.к. ряд может и расходиться, то соотв. случайная величина может и не иметь мат. ожидания. На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, мат. ожидание существует.

81. Как вычисляется дисперсия в случае распределения с плотностью f (x)? Докажите, что для случайной величины X с плотностью дисперсия D (X) не существует, а математическое ожидание M (X) существует.

Лапласа-Гаусса

 

95. Какой случайный вектор называется абсолютно непрерывным? Укажите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Как можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора, если известна его функция распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в круге радиуса R.

Случайный вектор называется абсолютно непрерывным, если существует - плотность распределения, такая, что:

Свойства f(x;y):

1) f(x;y) – неотрицательная

2) dxdy=1

3) В точке непрерывности

Если F(х;у) известна => - в точках непрерывности f(x,y).

Пример: Случ вектор (Х;У) равномерно распределен в круге радиуса R.

Найти функцию плотности.

кругу (if = если)

кругу

96. Как найти функцию распределения двумерного случайного вектора (X,Y), если известна функция плотности распределения f ? Укажите функцию распределения для случайного вектора (X,Y), равномерно распределенного в прямоугольнике со сторонами a и b.

Ответ:

По св-ву плотности распределения следует:

Равномерное распределение в прямоугольнике =>

F(x,y)=

1 =

F(x,y)=

F(x,y)= т.к. иначе F(x,y), x>m+b, y>n+a, F(x,y)=1, x<m, y<n F(x,y=0]=

= =

= (x(y-n)-m(y-n))= (xy-xn-ym+mn).

 

97. Как найти функцию плотности f_x(x) и f_y(y) компонент Х и Y, если известна функция плотности f_X,Y(x,y) двумерного распределения (Х,Y)?

Для того чтобы найти функцию распределения компоненты при известной функции распределения двумерного распределения. Необходимо проинтегрировать данную функцию распределения по противоположной компоненте, т.е.

f_x(x)= и соответственно наоборот.

 

f(x,y)=

 

 

f_x(x)= = 1/36 =

 

98. Как можно найти функцию (,), f x y X Y плотности распределения случайного вектора (X, Y) с независимыми компонентами X и Y, если известны их плотности распределения f (x) X и f (y) Y? Будут ли независимыми компоненты случайного вектора (X, Y), равномерно распределенного в прямо-

угольнике a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d? Ответ обоснуйте.

По определению:

Компоненты Х и У абсолютно непрерывного случайного вектора называются независимыми, если

Пример: прямоугольник , в котором вектор (х,у) равномерно распределен.

F(x;y)= иначе

При решении уравнения найдем

а)

б)

Аналогично для

Компоненты Х и У - независимые

99. Как можно найти функцию распр F_x,y(x,y) случайного вектора (X,Y) с независимыми компонентами X и Y, если известны их ф-ии распр F_X(x) и F_Y(y)?

Если X и Y – независимые компоненты случ вектора (X,Y) и известна их ф-ия распр F_X(x) и F_Y(y), то его ф-ия распр F_x,y(x,y)= F_X(x)*F_Y(y). Обоснование.

Пусть A=(X<x), B=(Y<y), тогда P((XÎA)(YÎB))=F_x,y(x,y) и P(XÎA)*P(YÎB)=F_X(x)*F_Y(y), т.к. P((XÎA)(YÎB))=P(XÎA)*P(YÎB) (т.к. X и Y –независимые).

100. Как найти математическое ожидание функции , где Х,У – компоненты случайного вектора (Х,У)? Как определяются начальные k,l и центральные k,l моменты случайного вектора (Х,У)?

Для математического ожидания функции ф(х, у) от компонент случайного вектора (X, Y) справедлива формула

Мы видели, что в одномерном случае основные числовые характеристики случайной величины выражались через начальные и центральные моменты. Дадим аналогичное определение для случайного вектора.

 

Началъным моментом порядка (к, 1} называется математическое ожидание функции хку':

(1)

Центральным моментом порядка (к, Г) называется математическое ожидание функции (х-тх) \y-mY),где тх = М(Х), mY = M{Y):

Числа к и l характеризуют порядок момента по отношению к каждой компоненте случайного вектора. Число r = к + l называют суммарным порядком момента. Соответственно суммарному порядку моменты можно разделить на моменты первого, второго и т.д. порядка. Мы рассмотрим более подробно моменты первого и второго порядка.

Первые начальные моменты - это нам уже знакомые математические ожидания случайных величин X и Y.

Аналогично,

Точка с координатами (М(Х), M(Y)) характеризует центр системы случайных величин, вокруг которого происходит рассеивание возможных значений.

Кроме первых моментов широко применяют вторые централь­ные моменты, которые бывают трех типов. Два из них дают знакомые нам дисперсии компонент X и Y:

которые характеризуют рассеивание возможных значений случайных величин X и 7 вдоль осей х и у.

Особую роль в определении взаимодействия компонент играет второй смешанный центральный момент

Мы уже рассматривали эту характеристику дискретных систем случайных величин, которую называли ковариацией. Она имеет важное значение и для непрерывных случайных векторов.

 

Каким образом на рисунках изображаются выборочные распределения непрерывных и целочисленных случайных величин? Что такое полигон частот? Как строится гистограмма относительных частот? Чему равна сумма площадей столбиков диаграммы?

Хз как ответить на первый вопрос(в учебниках нет), наверное при помощи полигона и гистограммы.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х_1; п₁), (х₂; п₂),..., (x_k; n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат — соответствующие им частоты n_i. Точки (х_i; п_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W{/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hWi/h=Wi—относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице

 

118.Сформулируйте понятие несмещенной точечной оценки. Будет ли оценка математического ожидания m, построенная по результатам двух измерений X1и X2 в форме m=1/10X1+(1-1/10)X2, несмещенной оценкой m?Ответ обоснуйте.

Несмещенной точечной оценкой называют оценку, математическое ожидание которой

равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

параметра называется несмещенной, если В противном случае оценка – смещенная. - является ли несмещенной оценкой?

 

119.Сформулируйте понятие несмещенной, состоятельной и эффективной оценки параметра генерального распределения. Приведите примеры.

Предположим, что функция распределения генеральной совокупности имеет вид где неизвестные параметры. Функцию , которая при фиксированных значениях принимает значение, рассматриваемое как приближенное зна-чение неизвестного параметра θ генерального распределения, называют статистической оценкой па-раметра θ. По определению оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру. Эффективной называют оценку, которая при заданном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию. Наконец, оценка называется состоятельной, если при она стремится (по вероятности) к оцениваемому параметру.

Выборочное среднее

является состоятельной и несмещенной оценкой для генерального среднего. Выборочная дисперсия

является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии. Статистическая оценка

 

называемая исправленной дисперсией, является состоятельной несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

120.Докажите, что для генерального распределения с математическим ожиданием m и конечной дисперсией σ² выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой m.

Выборочное среднее ¯ x=1/n*Σx_n является несмещённой состоятельной оценкой математического ожидания m. Док-во. Поскольку каждая из величин генеральной выборки имеет математическое ожидание M(X), математическое ожидание выборочного среднего ¯ M(X)= 1/n*Σ M(X_i) = M(X), т.е выборочное среднее является несмещённой оценкой. В силу независимости величин выборки D ¯ x=1/n²*ΣD(X_i)=D(x)/n. Состоятельность докажем с помощью нер-ва Чебышева для выборочного среднего с учётом несмещённости: ρ(׀ ¯ x - M(X)׀>= ε) <= D(¯ x) / ε² = D(x)/n ε² для всякого ε>0. Поэтому lim_n→∞ ρ(׀ ¯ x - M(X)׀>= ε)=0. Отсюда lim_n→∞ ρ(׀ ¯ x - M(X)׀< ε)= 1 - lim_n→∞ ρ(׀ ¯ x - M(X)׀>= ε) = 1.

 

121. Пусть X1,…Xn – выборка из распр с дисперсией s2. Док-те, что - несмещенная оценка s².

Пусть Zn = (x₁…x_n) – случ выборка объема n, тогда исправленной выборочной дисперсией называется величина s²=n/(n-1) . Следствие: S² – несмещенная оценка s².

M(S²)=M(n/(n-1) ) = n/(n-1) M() = n/(n-1) * (n-1)/n * s² = s², т.к.

M()= .

 

Что такое интервальная оценка для параметра q при доверительной вероятности g? Какой практический смысл имеет такая оценка, если g близка к 1? Как изменится доверительный интервал при уменьшении доверительной вероятности?

Пусть q - неизвест пар-р или числовая хар-ка ген распр. Если выполняется , то интервал - называется доверительным интервалом, который покрывает неизвестный пар-р q ген распределения с доверительной вероятностью g (надежность оценки); d - точность оценки.

Если g близка к 1, то такая оценка является надежной. При уменьшении g, d тоже уменьшается, значит, чтобы точно попасть в интервал его надо развинуть.

124. Пусть n X, X,..., X 1 2 – выборка из нормального распределения с математическим ожиданием m и дисперсией σ 2. Докажите, что для t > 0 интервал накрывает m с вероятностью 2 Ф (t), где Ф (t) – функция Лапласа.

Пусть X₁,..., Х_{n –} выборка из нормального распределения Х с параметрами:

M(X)=m, D(X)=σ²

тогда для t>0 доверит. интерв. (X-tσ/√n; X+tσ/√n), где – выб. сред., а t – реш-е ур-ния Ф(t) = j/2, к-рый накрывает неизв. параметр m c над-тью j с вер-тью 2Ф(t), т.е. 2Ф(t)=j

Док-во:

Связь между надежностью j и точностью оценки σ. По данному j найдем σ, так чтобы P(‌ -m‌<σ)=J

 

X~N(m, σ²), ~N(m, σ²/n)

P(‌ -m‌<σ)=P(m-σ< <m+σ)=Ф(σ/√ σ²/n)-Ф(σ/ √σ²/n)=2Ф(σ√n/ σ)=j, где σ√n/ σ=t => 2Ф(t)=λ

126 Укажите приближенный γ -доверительный интервал для доли признака в генеральной совокупности по относительной частоте. При каких n формула дает хорошее приближение?

Пусть р - доля признака генеральной совокупности, k/n-выборочная доля, тогда доверительный интервал равен:

 

Где Ф(t)=γ/2

n≥50

 

Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их ве-

роятности? Пусть A, B и C – случайные события. Перечислите все случаи наступления события .

Событие А, которое произойдет при любом испытании, называется достоверным

(А = ). Например, в опыте с подбрасыванием игральной кости событие А, задаваемое условием “число выпавших очков положительное”, будет достоверным. Вероятность достоверного события равна 1.

Событие А, которое не может произойти при испытании, называется невозможным (А=пуст.множ.). Например, событие А, задаваемое условием “при подбрасывании игральной кости выпало 7 очков”, является невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

Таблица, характеризующая событие А +С

А	В	С	А +С

 

5.В каком случае событие В называют следствием события А? Какие события называются равными? Объясните, почему .

Событие А влечет за собой событие В или событие В является следствием события А (А В), если каждый исход, благоприятный для А, является благоприятным и для В. События А и В равны (А=В) в случае, когда они являются следствиями друг друга.

I) А АВ+А

Если А наступило(А=1), то: 1) если В при этом наступило, то наступило АВ АВ+А наступило; 2) если В не наступило, то =1 А =1 АВ+А наступило.

II) АВ+А А

Если АВ+А наступило, то либо АВ наступило (т.е А наступило АВ+А А) либо наступило А (А наступило АВ+А А).

Событие А наступает, т.к. любое событие А попадает в В или . А=А()=А* =А.

 

6. Пусть А и В – случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию .

(А+В)(А+ ) = АА+А +АВ+В =А+А(В+ )

 

7. Докажите, что . Что обозначает событие ?

= * *…..* . Наступление события А +….А означает, что наступает по меньшей мере одно из событий А ,….,А . Наступление противоположного события означает, что не наступает ни одно из событий А ,….,А или, по-другому, что наступают одновременно все события ,…., , но это в точности означает наступление события * *…..* . Ч.т.д.

А А + А А + А А : означает наступление ровно двух событий из трех.

 

8. Докажите, что = + +…..+ . Что означает событие А А + А А + А А ?

= + +…..+ . Наступление события А *….*А означает, что наступают каждое из событий А ,….,А . Наступление противоположного события означает, что не наступает хотя бы одно из событий А ,….,А или, по-другому, что наступают события + +…..+ . Ч.т.д.

А А + А А + А А : означает наступление не меньше двух событий.(или ровно 2 события????????)

 

9. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию ? Возможны случаи Р=0 и Р=1? Ответ обоснуйте.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит, 0<m/n<1, следовательно, 0<P(A)<1. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤Р(А)≤1.

В качестве статистической вероятности события понимают относительную частоту или число, близкое к ней. Свойства вероятносте