Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины.

Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины X с функцией плотности f(x) и матема-тическим ожиданием m = M(X) определяется таким же равенством, как и для дискретной величины

Из равенства (5.26) следует, что справедлива следующая формула

Поскольку формула (5.29) может быть записана в следующем виде

то формулу (5.30) можно представить таким образом

 

В случае когда абсолютно непрерывная случайная величина X сосредоточена на промежутке [a, b], формулы (5.30), (5.32) примут вид

.

Дисперсия непрерывной случайной величины определяет степень рассеивания значений, прини-маемых случайной величиной, вокруг ее математического ожидания.

Среднее квадратичное отклонение, или стандартное отклонение, непрерывной случайной ве-личины X определяется так же, как и для дискретной случайной величины:

 

4 °. Свойства математического ожидания и дисперсии.

Для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины X сохраняются свойства числовых характеристик дискретной случайной величины. Напомним эти свойства.

4. Постоянный множитель выносится из под знака дисперсии в квадрате.

5. Если к случайной величине прибавить константу, то дисперсия не изменится.

6. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Это не полное т.к. доказать не могу=(

82. Выведите формулу для нахождения мат. ожидания и дисперсии случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a; b].

C.В. Х, сосредоточенная на [a;b], равномерно распределена на этом отрезке, если её функция плотности равна константе: f(х)=с (const), a≤х≤b.

Значение постоянной с определяется из условия: ∫^∞_-∞ f(х)dх=1, которому удовлетворяет любая плотность вероятности. В данном случае это условие принимает вид: с(b-a)=1, откуда следует, что с=1/(b-a).

М(Х)= ∫^b_a хf(х)dх= ∫^b_a сdх, т.к. для абсолютно непрерывной С.В. Х с непрерывной плотностью f(х) М(Х)= ∫^b_a хf(х)dх.

Т.к. с=1/(b-a), то М(Х)=с*х²/2 |^b_a = c*(b²-a²)/2=(b+a)/2. Таким образом мы получили, что числу М(Х) соответствует середина [a; b].

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой, где D(Х)= ∫^b_a х²f(х)dх- m², где m=M(Х).

D(Х)= 1/(b-a) ∫^b_a х²dх – ((a+b)/2)²= 1/(b-a)*(b³-a³)/3 - ((a+b)/2)²= (b²+ab+a²)/3 - ((a+b)/2)²= (b-a)²/12.

 

Таким образом, М(Х)=(b+a)/2, а D(Х)= (b-a)²/12.

83. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра m в формуле для функции плотности случайной величины Х, распределенной по нормальному закону.

Формула описывает плотность нормального распределения вероятностей непрерывной с.в..

Как видно, нормальное распределение определяется двумя параметрами: m и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Докажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: m есть математическое ожидание.

Поопределению математического ожидания непрерывной с.в.,

Введем новую переменную . Отсюда . Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно m (интеграл Пуассона ).

Итак, M(X)=m, т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру m.

84. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра σ в формуле для функции плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Докажем, что - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Введем новую переменную z==(х—m)/ . Отсюда . Приняв во внимание, что новые пределы инте­грирования равны старым, получим Интегрируя по частям, положив u=z, найдем Следовательно, .Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

85. Докажите, что для случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром , математическое ожидание

Найти числовые характеристики случайной величины X, распределенной по пока-зательному закону с плотностью

Решение. Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой

M(X)=

Найдем интеграл методом интегрирования по частям, полагая u = x, dv = e ^{–λ x} d (λ x), так что du = dx, v = – e ^{–λ x} . Получим

Таким образом, M(X)=

86 Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a,b]. Можно ли для любых m и δ>0 подобрать параметры a и b так, чтобы M(x)=m, D(x)=δ²? Как по m и δ найти a и b?

 

СВ Х, сосред. на [a,b] называется равном. распередёлнной, если её на [a,b].

докажем это

Если M(x)=m, а D(x)= δ² и m, δ>0 – любые, тогда мы всегда можем подобрать параметры a и b, чтобы выполнялось это условие.

Пример: пусть m=3, δ=4 – тогда ;

; ; ;

87.Что такое правило для нормального распределения? Верно ли, что для любой нормальной случайной величины Х существует отрезок , для которого ? Ответ обоснуйте.

Правило трех сигм – отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более трех средних квадратических отклонений (по абсолютной величине). Правило трех сигм применимо для большинства СВ, встречающихся на практике. P (|X-a|<=3сигма) для нормального закона = 0,9973. Для равномерного закона =1. Для показательного = 0,9827 и т.д.

Для нормально распределенной с.в.Х справедлива формула

Преобразуем эту формулу, приняв В итоге получим

Если t=3 и, следовательно, , то , т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

 

2. Верно.

 

88. Формулируйте определение начальных моментов случайной величины. Докажите, что если Х и У независимые случайные величины, то

Начальным моментом порядка k (k принадлежит N), свободная величина Х называется мат.ожиданием k-й степени Х.

Центральным моментом порядка k СВ Х называется мат.ожидание k-й степени отклонения:

Теорема: если Х и У независимые СВ, то

Док-во:

89. Пусть - начальные, а - центральные моменты некоторой случайной величины.

Докажите, что:

Докажем связь начальных и центральных моментов: