Основные характеристики случайных величин

Определение 4. Случайной величиной Х называется величина, принимающая то или иное заранее неизвестное числовое значение в зависимости от исхода испытания.

Определение 5. Дискретной случайной величиной называется величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений, то есть такое множество, элементы которого можно пронумеровать.

Определение 6. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется соответствие между возможными значениями Х и их вероятностями:

 

х	х 1	х 2	…	xn
p (х)	p (х 1)	p (х 2)	…	p (хn)

где .

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание М (Х), дисперсия D (X) и среднее квадратическое отклонение s (X).

Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется соотношением:

М (Х) = .

Дисперсия дискретной случайной величины определяется соотношением:

.

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины определяется по формуле

.

С вероятностной точки зрения математическое ожидание случайной величины определяет среднее арифметическое значение, которое принимает случайная величина при очень большом числе испытаний.

Дисперсия же определяет среднее арифметическое квадратов отклонений случайной величины Х от ее математического ожидания при очень большом числе испытаний.

И дисперсия, и среднее квадратическое отклонение характеризуют степень рассеяния случайной величины Х в области ее математического ожидания.

Свойства математического ожидания:

1. М (С) = С, где С = const;

2. М (СХ) = С×М (Х);

3. М (Х ± Y) = М (Х)± M (Y);

4. М (Х × Y) = М (Х)× M (Y), если Х и Y – независимые случайные величины.

Свойства дисперсии:

1. D (C) = 0;

2. D (CX) = C ²· D (X);

3. ;

4. D (Х ± Y) = D (Х)+ D (Y), если X и Y - независимые случайные величины.

Определение 7. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Определение 8. Интегральной функцией распределения случайной величины X называется функция, определяемая соотношением:

F (x) = p (X < x) = . (5)

Для дискретной случайной величины

F (x) = p (X < x) = .

4.7.

X \ Y	–4	–3	–1
	0,03	0,04	0,06	0,02	0,02	0,03
	0,07		0,07	0,03	0,05	0,03
	0,04	0,04	0,05	0,05	0,03	0,05
	0,06	0,07	0,06	0,06	0,02	0,02

a = –2, b = 3, C = 2

 

4.8.

X \ Y	–8	–6	–4	–2
	0,03	0,06	0,04	0,06	0,06	0,05
	0,05	0,08	0,04		0,01	0,03
	0,03	0,06	0,06	0,08	0,02	0,06
	0,04		0,03	0,09	0,01	0,01

a = , b = , C = 9

4.9.

X \ Y	–5	–3	–2	–1
	0,01	0,04	0,11	0,06	0,05	0,04
	0,02	0,06	0,13	0,02		0,01
	0,08	0,05	0,03	0,03	0,02	0,03
	0,09		0,03	0,02	0,03	0,04

a = 3, b = 2, C = 7

 

4.10.

X \ Y	–4	–2
–2	0,06	0,02	0,1	0,02	0,05
–1	0,05		0,03	0,02	0,04	0,05
	0,02	0,04	0,07	0,01	0,03	0,05
	0,02	0,04	0,1	0,05	0,08	0,05

a = 2, b = 1, C = 0

4.3.

X \ Y	–5	–3	–1
	0,03	0,09	0,01	0,06	0,03	0,05
	0,02	0,05	0,07	0,05	0,02	0,02
	0,15	0,04	0,03	0,04	0,03	0,03
		0,02	0,04	0,05	0,02	0,05

a = –1, b = 2, C = 5

4.4.

X \ Y
–4	0,06	0,02	0,04	0,06	0,03	0,05
–2	0,04	0,07	0,03		0,05	0,03
	0,06	0,04	0,09	0,06	0,03	0,02
	0,07	0,03	0,05	0,06	0,01

a = 2, b = 3, C = 1

4.5.

X \ Y
–5		0,06	0,03	0,03	0,04	0,02
–3	0,07	0,04	0,02	0,02	0,06	0,03
	0,15	0,05	0,04	0,04	0,03	0,02
	0,08	0,05	0,01	0,01	0,07	0,03

a = , b = , C = 2

4.6.

X \ Y
–4	0,02	0,02	0,06	0,04	0,04	0,02
–3	0,03	0,01	0,04	0,08	0,03	0,07
–2	0,04	0,05	0,07	0,07	0,05	0,04
–1	0,01	0,02	0,03	0,06	0,03	0,07

a = 4, b = –2, C = –3

Интегральная функция распределения обладает следующими свойствами:

1) 0 £ F (x) £ 1, F (– ¥) = 0, F (+ ¥) = 0;

2) F (x) – неубывающая функция, т.е. F (x ₁) £ F (x ₂) при x ₁ £ x ₂;

3) p (x ₁ < X < x ₂) = F (x ₂) – F (x ₁).

Определение 9. Дифференциальной функцией распределения f (x) или плотностью вероятности называется первая производная от интегральной функции распределения: f (x) = F¢ (x). Понятие f (x) применимо только для непрерывных случайных величин.

Функция f (x) обладает следующими свойствами:

1) f (x) ³ 0;

2) ; (6)

3) p (x ₁ £ X £ x ₂) = . (7)

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяются соотношениями:

Замечание. Если значения непрерывной случайной величины X заполняют некоторый интервал (a, b), т.е. f (x) ³ 0 при x Î (a, b), f (x) º 0 при x Ï (a, b), тогда

Для вычисления дисперсии можно использовать формулу:

D (X) = М (Х ²) – М ²(Х).

Задача. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X. Найти:

1) постоянный параметр A;

2) функцию распределения F (x);

3) математическое ожидание М (Х), дисперсию D (X) и среднее квадратическое отклонение ;

4) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1; 4);

5)

построить графики функций f (x) и F (x).

Решение. Распишем функцию плотности распределения следующим образом:

1) Постоянный параметр A находится из условия (6). С учетом областей изменения аргумента x с различным аналитическим заданием f (x) имеем:

Поскольку подынтегральная функция в двух крайних интегралах суммы тождественно равна 0, то равны 0 и сами эти интегралы. В силу этого:

2) Интегральный закон распределения находим согласно (5) также с учетом областей изменения аргумента х с различным аналитическим заданием f (x).

Для х < 0: в этой области значений х.

Для 0 £ x £ 3:

Для х > 3:

Таким образом,

3.10. Агрегат содержит 5000 деталей. Вероятность отказа детали за время работы агрегата равна 0,001. Найти вероятность того, что за время работы агрегата откажет более чем одна деталь.

Задача 4. Двумерная дискретная случайная величина.

 

Дана дискретная двумерная случайная величина (X, Y). Найти:

1) безусловные законы распределения компонент Х и Y;

2) математические ожидания составляющих компонент М (Х), M (Y) и центр рассеяния R ₀ = { M (X), M (Y)}; ковариацию компонент cov (X, Y);

3) условный закон распределения X при Y = C и найти M (X / Y = C);

4) закон распределения случайной величины Т = аХ + b, математическое ожидание М (Т) и дисперсию D (T);

5) закон распределения случайной величины Z = Х + Y; математическое ожидание M (Z) и дисперсию D (Z);

6) построить график интегральной функции распределения F (z) случайной величины Z.

 

4.1.

X \ Y	–7	–3
–2	0,08	0,1	0,05	0,02	0,03	0,13
–1	0,01	0,05	0,06	0,03	0,05	0,04
		0,1	0,07	0,03	0,01	0,02
	0,01	0,05	0,02	0,02	0,01	0,01

a = 2, b = –1, C = 0

 

4.2.

X \ Y
–3	0,01	0,05	0,05	0,06		0,03
–2	0,07	0,1	0,05	0,03	0,02	0,08
–1	0,04	0,04	0,05	0,04	0,02	0,03
	0,03	0,06	0,05	0,02	0,01	0,06

a = 3, b = 1, C = –1

 

 

принадлежит он к двум 1-ым или 3-ем последним?

2.10. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Считая, что всех мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что случайно выбранное лицо окажется дальтоником. Пусть наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина?

Задача 3. Схема Бернулли.

 

3.1 Отношение грузовых и легковых автомобилей, подъезжающих к автозаправочной станции для заправки, 2: 3. Найти вероятность того, что из 100 очередных машин к автозаправочной станции подъедут 60 легковых.

3.2. Книга издана тиражом 20000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрованных книг.

3.3 Вероятность полной заполняемости каждого из 60 санаториев города-курорта в осенний период равна 0,64. Найти вероятность того, что в октябре с полной нагрузкой будут работать более 30 санаториев.

3.4. Коэффициент использования каждого из 7 станков равен 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент работают 4 станка.

3.5. На склад поступили телевизоры, 90 % которых исправны. Сколько телевизоров надо взять со склада наудачу, чтобы с вероятностью 0,993 утверждать, что частость исправных телевизоров среди взятых находится между 0,85 и 0,95?

3.6. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 120 случайно отобранных деталей окажутся непроверенными от 10 до 20 деталей.

3.7. На склад поступило 400 изделий. Вероятность того, что изделие высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что на складе число изделий высшего сорта от 290 до 330.

3.8. Автоматический станок изготавливает 3/5 числа деталей первого сорта и 2/5 – второго сорта. Определить вероятность наивероятнейшего числа деталей первого сорта среди отобранных 54 деталей.

3.9. На каждую из 144 купленных акций различных акционерных обществ и компаний их владелец за год получает дивиденды с вероятностью 0,64. Найти вероятность того, что относительная частота акций, которые в следующем году принесут дивиденды, отклонится по абсолютной величине от вероятности 0,64 не более чем на 0,05 в условиях стабильной котировки акций.

3) Найдем математическое ожидание

Найдем дисперсию

Тогда .

4) Найдем вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1; 4) по формуле (7):

,

так как х = 4 принадлежит третьей области изменения х, а значение функции в этой области равно 1; х = 1 принадлежит второй области изменения аргумента х, а значение функции в этой области рассчитывается при подстановке данного аргумента х в выражение

5) Используя полученные функции f (x) и F (x), строим их графики

 

Нормальное распределение

Наиболее важным с экономической точки зрения является нормальное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если

Для нормально распределенной случайной величины М (Х) = а, D (X) = = s ²,среднее квадратическое отклонение s (Х) = s называется стандартным отклонением, а также имеют место соотношения:

, (8)

, (9)

,

,

где – функция Лапласа, значения которой находятся по таблице №2 Приложений;

Задача. Заданы математическое ожидание а = 10 и стандартное отклонение s = 5 нормально распределенной случайной величины Х. Найти:

а) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (9; 14);

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х – а окажется меньше d = 6.

Решение. Для решения необходимо использовать формулы (8), (9).

а) Подставив значение а = 10, s = 5, a = 9, b = 14 в (8), получим:

б) Подставив значения d = 6, s = 5 в (9), получим

.

Ответ: а) р (9 < x < 14) = 0,3674; б) p (| X – 10| < 6) = 0,7698.

Задача 2. Полная вероятность и формула Байеса.

 

2.1. Машина фирмы должна заехать за сырьем на одну из четырех баз. Вероятность наличия нужного сырья на 1-ой базе – 0,9; на 2-ой – 0,95; на 3-ей – 0,9; на 4-ой – 0,6. Найти вероятность того, что задание фирмы будет выполнено, если вероятность заехать на 1-ую базу – 0,3; на 2-ую – 0,2; на 3-тью – 0,4; на 4-ую – 0,1.

2.2. Мастер собирает 60% приборов, монтажник – 40%. Надежность работы прибора, собранного мастером, равна 0,9, а монтажником – 0,8. Взятый прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран мастером.

2.3. На склад поступает обувь с 2-х фабрик. С 1-ой фабрики 35% обуви, среди которой брак составляет – 2%; со 2-ой – 65%, а брак составляет 3%. Проданная пара обуви оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена 1-ой фабрикой.

2.4. В магазин поступает одна и та же продукция от 3-х предприятий. От 1-го предприятия поступило 20 изделий, от 2-го – 10 и от 3-го 70. Вероятности некачественного изготовления изделия на предприятиях соответственно равны 0,02; 0,03; 0,05. Определить вероятность получения некачественного изделия.

2.5. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая – 15 счетов, 2-ая – 10, 3-тья – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит 2-ой организации.

2.6. Имеются две урны. В 1-ой 3 белых и 4 черных шара, во 2-ой – 2 белых и 3 черных. Из 1-ой урны наугад перекладывают во 2-ую один шар, после чего из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он оказался белым.

2.7. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, успешно прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

2.8. Имеются две урны. В 1-ой 4 белых и 3 черных шара, во 2-ой – 3 белых и 2 черных шара. Из 1-ой урны во 2-ю перекладывают 2 шара, после чего из 2-ой урны берут один. Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен, если извлеченный шар оказался белым?

2.9. Из пяти стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и три с вероятностью 0,4. Наугад выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее:

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5

Задача 1. Непосредственный расчет вероятностей на основе комбинаторики и алгебры событий.

1.1. В поступившей партии из 30 швейных машин 10 имеют внутренний дефект. Определить вероятность того, что из пяти наудачу взятых машин три окажутся бездефектными.

1.2. В урне находится 4 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно извлекают по шару (без возвращения). Выигрывает тот, кто 1-ым вытащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для начинающего игру?

1.3. Какова вероятность получить выигрыш в игре Спортлото «5 из 6», полагающийся при угадывании: 3-х номеров из пяти; 4-х номеров из пяти; всех пяти номеров.

1.4. Устройство состоит из 3-х независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно с вероятностями p ₁=0,84; p ₂=0,81; p ₃=0,93. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) хотя бы один элемент; б) только один элемент.

1.5. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

1.6. На тепловой электростанции 18 сменных инженеров, из них 8 женщин. В смену занято 6 человек. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется четверо.

1.7. Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Сочи, 8 в Туапсе и 7 – в Адлере. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город?

1.8. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятности того, что формула содержится в 1-ом, 2-ом, 3-ем справочниках соответственно равны 0,6; 0,7; 0,9. Найти вероятности того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в двух; в) ни в одном справочнике.

1.9. Из двух орудий произведен залп по мишени. Вероятность попадания из первого орудия 0,85; из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.

1.10. Станок-автомат штампует детали, 96% из них стандартные, причем 90% стандартных деталей – это детали 1-го сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется деталью 1-го сорта.