Двумерные случайные величины и их законы распределения

Пусть есть опыт, в котором несколько случайных величин

X(S, h, Δτ, r) – многомерные случайные величины

Будем рассматривать только двумерные случайные величины

X(ξ, η), где ξ и η - случайные величины со своими законами распределения.

Геометрическая интерпретация:

x – значение ξ

y– значение η

 

Двумерные случайные величины подразделяются на непрерывные и дискретные случайные величины.

Дискретная случайная величина – это такая случайная величина (точка), вокруг которой, сколько бы раз ни проводили опыт, не никаких других точек, т.е. все точки изолированы друг от друга.

Непрерывная случайная величина – это такая случайная величина, значения которой заполняют сплошь некоторую область на плоскости.

 

Закон распределения дискретной случайной величины (если задана таблица):

η	ξ	x1	x2	…	xij	…	xn
y1				-
y2				-
…				-
yij	-	-	-	Pij
…
ym

 

Закон распределения непрерывной случайной величины задается в виде функции распределения – вероятность происхождения двух событий одновременно.

x,y – не включаются в интервал

 

Механический смысл ≈ масса плоскости (D)

Функция плотности распределения:

- плотность, с которой единичная масса распре делена на плоскости.

Понятие зависимых и независимых случайных величин

Пусть в опыте есть двумерная случайная величина X(ξ, η)

- закон распределения для случайной величины ξ

- закон распределения для случайной величины η

Рассмотрим

- рост

- вес

 

 

Измеряем вес и рост определенного человека, затем фиксируем рост => люди будут иметь разный вес

- закон распределения веса. Он будет один и тот же для разного роста.

Условный закон распределения – это закон распределения, когда какая-нибудь компонента известна.

Случайная величина ξ независима от η, если для любого значения

,

Это понятие взаимное, т.е. если ξ не зависитот η, то и η не зависитот ξ.

Если условие не выполняется , то случайные величины зависимы.

Теорема:

Две случайные величины ξ и η в одном и том же опыте будут являтся независимыми случайными величинами тогда и только тогда, когда их двумерный закон распределения равен произведению одномерного закона.

Если нарушаются эти условия, то ξ и η – зависимы.

Доказательство:

Дано ξ и η –независимые случайные величины

=>

Рассмотрим прямоугольник с бесконечно малыми сторонами. Р – вероятность попадания в эту область.

 

Если не зависимы

Теорема доказана.

Условное математическое ожидание линии регрессии.

Рассмотрим векторную величину Х(ξ,η).

Условное мат. ожидание

Мат. Ожидание, посчитанное при условии, что одна координата зафиксирована

зафиксирована η.

l – линия регрессии, состоящая из условных мат. ожиданий (регрессия y по х).

l: - условное мат ожидание.

Вид зависимости между двумя случайными величинами определяется формой линии регрессии.

Пример:

Линия регрессии – ориентировочный средний вес в данном примере.

 

Числовые характеристики двумерных случайных величин

Корреляционный момент

Двумерная случайная величина X(ξ, η), ,

Начальным моментом порядка k,l – называется мат ожидание от произведения.

Центральные моменты – это мат ожидание центрированных величин.

Корреляционный момент.

- основная формула корреляционного момента.

Дисперсия корреляционного момента:

Теорема:

Если две случайные величины независимы между собой, то их корреляционный момент равен 0.

Доказательство:

Дано:

Две независимые случайные величины.

Теорема доказана.

Обратное утверждение неуместно!

Если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, то они называются коррелированными.

Корреляционный момент служит для определения являются ли две случайные величины зависимы между собой.

На практике если определили, что k≠0 то случайные величины зависимы, а если k=0, то либо независимы, либо коррелированны.

Коэффициент корреляции:

- среднеквадратические отклонения.