Способы вычисления вероятности

1) Схема случаев.

Опыт сводится к схеме случаев, если обладает свойствами:

- число элементарных исходов конечно;

- элементарные исходы попарно несовместны;

- все исходы равновозможные.

 

P(А)=m/n, где n – число элементарных исходов

m – число исходов благоприятного появления А

 

2) Статистическое определение вероятности.

Опыт: случайное событие А, N – число проведенных опытов, n – появлений событий А.

P_N^*(А) = n/m - частота появления события А.

Замечание:

Частота стремится в основном к вероятности.

Будут отклонения, но с ростом число таких

отклонений в процентном состоянии стремится к 0

 

Случайная величина – это любая числовая функция на множестве Ω, областью определения которой является множество Ω, а область значений множество действительных чисел.

Пространство элементарных исходов есть некоторое множество, в которое входят все элементарные исходы.

Ω={w}

 

 

Для описания случайных величин используют законы распределения случайных величин.

Представление дискретной случайной величины:

X	x1	x2	x3	…	xn
P	p1	p2	p3	…	pn

Пример: для кубика выглядит так

X	x1	x2	x3	x4	x5	x6
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

 

Представление непрерывной случайной величины:

Функция распределения

Механический смысл закона распределения длядискретной случайной величины:

m_i=1/6, где i – это каждая точка.

Для непрерывной случайной величины:

x1<x2, F(x1)≤ F(x2)

,

F(x) – монотонно возрастающая функция

Механическая аналогия – это плотность массы, с которой вероятность размазана по всей числовой оси

Числовые характеристики

1) X – случайная дискретная величина

X	x1	x2	x3	…	xn
P	p1	p2	p3	…	pr

Математическое ожидание – это средняя точка, около которой разбросаны значения вероятностей

Математическое ожидание характеризует центр рассеивания вокруг которого разбросаны случайные значения.

X – непрерывная случайная величина

Здесь M[X] – центр тяжести системы материальных точек.

2) Дисперсия – характеризует величину разброса случайных значений вокруг математического ожидания.

Механический смысл – координаты точки, момент инерции.

3) Среднеквадратическое отклонение от математического ожидания

Примеры основных случайных величин и их характеристик

1) Случайная величина X, закон Бернулли

 

X				k	n
P

X – число появлений события А из n независимых опытов.

2) Закон распределения Пуассона

X					…	n
P				…	…

λ – среднее число соединений в единицу времени.

3) Показательный закон распределения непрерывной случайной величины.

 

- среднее время ожидания, f(x) – функция плотности.

4) Равномерный закон распределения

 

5) Нормальный закон распределения (f (x, m, σ))

,

X=x1+x2+x3+…+xn,

Если n достаточно велико, то X имеет нормальный закон распределения. При моделировании достаточно n=12.

6) Закон треугольника.

 

 

Площадь под кривой для плотности распределения равна единице.

,

Применяют в тех случаях, если кривая похожа на треугольник.

Построение датчика псевдослучайных чисел.

Те числа, которые получаются с помощью датчика – псевдослучайные числа.

Массивы чисел, которые получаются с помощью генераторов - псевдослучайны, т.к. они получены с помощью определенных алгоритмов.

x=rand(m,n), 0≤xij≤1 распределена по равномерному закону.

 

Датчики для равномерного закона распределения

x1=0,5 {} – другая часть числа

x2={11x1+π} {π} = 0,1415926…

x3={11x2+π}

Если увеличивать закон выборки

Чтобы построить гистограмму нужно использовать команду

hist(x,100), где x – выборка,

100 – количество интервалов, на которых находится выборка.

 

 

Построение датчика псевдослучайных чисел для любого закона распределения

Теорема: Пусть ξ – случайная величина распределенная по закону y=F_ξ(x).

, η - случайная величина, распределенная от 0 до 1.

Утверждается, что случайная величина η распределена по равномерному закону.

Доказательство:

ξ – равномерный закон распределения

Возьмем произвольный интервал и найдем вероятность попадания в этот интервал, причем вероятность зависит от длины интервала. Это и будет означать, что случайная величина η распределена по равномерному закону.

Следствие:

Если , то .

 

Построение датчика по показательному закону распределения

ξ – показательный закон распределения, если

При x ≥ 0, .

1. Генерируем по равномерному закону распределения

2.