Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Двумерная случайная величина

Поиск

Определение 10. Упорядоченная пара случайных величин (Х; Y) называется двумерной случайной величиной.

Определение 11. Возможным значением двумерной случайной величины (Х; Y) называется упорядоченная пара чисел вида (Х = xi; Y = yj), а ее вероятностью – вероятность события (Х = xi; Y = yj): pij = p (Х = xi; Y = yj).

Определение 12. Законом распределения двумерной случайной величины называется перечень возможных значений (xi; yj) этой величины и их вероятностей pij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Обычно двумерное распределение задается в виде таблицы

Y X Y = y 1   Y = y 2   … Y = yn
X = x 1 p 11 p 12 p 1 n
X = x 2 p 21 p 22 p 2 n
X = xm pm 1 pm 2 pmn

 

Так как события (Х = xi; Y = yj), где i = 1,2,…, m и j = 1,2,…, n, образуют полную группу, то сумма вероятностей pij в данной таблице равна 1.

Безусловные вероятности дискретных компонент Х и Y находятся по формулам

(10)

Для условных вероятностей компонент Х и Y справедливы формулы:

(11)

Математические ожидания компонент Х и Y находятся следующим образом:

(12)

Определение 13. Ковариацией (корреляционным моментом) компонент Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:

(13)

 
где математическое ожидание произведения компонент (суммирование производится по всем возможным парам индексов ij).

Пусть дана случайная величина Z = X + Y. Тогда математическое ожидание

M (Z) = M (X) + M (Y), (14),

а дисперсия

D (Z) = M (Z 2) – M 2(Z). (15)

Задача. Дана дискретная двумерная случайная величина = (Х; Y). Найти:

1) безусловные законы распределения компонент Х и Y;

2) математические ожидания составляющих компонент M (X), M (Y) и центр рассеяния ; ковариацию компонент cov (X, Y);

3) условный закон распределения X при Y = 1 и найти M (X /Y = 1);

4) закон распределения случайной величины T = 3 X + 1, математическое ожидание M (T) и дисперсию D (T);

5) закон распределения случайной величины Z = X + Y; математическое ожидание M (Z) и дисперсию D (Z);

6) построить график интегральной функции распределения F (Z) случайной величины Z.

 

X \ Y y 1 = –1 y 2 = 0 y 3 = 1
x 1 = 1   0,05 0,2
x 2 = 2 0,1 0,1 0,1
x 3 = 3 0,1 0,15  
x 4 = 4 0,05   0,15

Решение.

1) Согласно (10), складывая вдоль строк (по индексу j) и вдоль столбцов (по индексу i), получим безусловные вероятности соответствующих значений xi и yj случайных компонент вектора . Безусловные законы распределения этих компонент представим в виде таблиц:

 

X        
p (X) 0,25 0,3 0,25 0,2

 

Y –1    
p (Y) 0,25 0,3 0,45

2) Согласно (12) и результатам пункта 1 математическое ожидание компонент:

M (X) = 1×0,25 + 2×0,3 + 3×0,25 + 4×0,2 = 2,4;

M (Y) = –1×0,25 + 0×0,3 + 1×0,45 = 0,2.

 
Следовательно, центр рассеивания системы случайных величин (Х; Y) определяется радиус-вектором .

Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение , учитывая, что

Найдем наблюдаемое значение критерия:

Табулированное значение tдвуст.кр. (a = 0,05; k = n – 1) = 2,57.

Так как – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, средние результаты измерений различаются незначимо.

 

 
 
 


- «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

Правило. Для того чтобы при заданном уравнении значимости a проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных совокупностей X и Y с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n – 1 найти критическую точку . Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Задача. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра):

 

           
           
– 8   –1      

 

При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.

Решение. Найдем разности , вычитая из чисел первой строки числа второй.

Найдем выборочную среднюю, учитывая, что :

 


Согласно (13) для нахождения ковариации компонент вектора надо знать M (XY). Используя исходную таблицу и опуская слагаемые, содержащие равные 0 множители, получим:

M (XY) = –1×2×0,1 –1×3×0,1–1×4×0,05+1×1×0,2+1×2×0,1+1×4×0,15 = 0,3.

Следовательно, cov (X, Y) = M (XY) – M (XM (Y) = 0,3 – 2,4×0,2 = – 0,18.

3) Согласно (11) и результатам пункта 1 получим условные вероятности

Таким образом, условный закон распределения случайной компоненты X при Y = 3 можно представить таблицей:

X        
p (X /Y = 1) 0,45 0,22   0,33

(столбец с вероятностью равной 0 можно опустить).

Найдем математическое ожидание

M (X /Y = 1) = 1×0,45 + 2×0,22 + 3×0 + 4×0,33 = 2,21.

4) Значения случайной величины T = 3 X + 1 получаются при подстановке значений случайной величины X в формулу для Т; а их вероятности совпадают с соответствующими вероятностями значений случайной величины Х:

Т        
р (Т) 0,25 0,3 0,25 0,2

Найдем М (Т) и D (T):

5) Для определения закона распределения случайной величины Z = X + Y предварительно составим таблицу возможных значений Z, задаваемых значениями xi + yj, и вероятностей этих значений, равных p (Х = xi; Y = yj)= pij:

 
 
 


xi                        
yj –1 –1 –1 –1                
xi + yj                        
pij   0,1 0,1 0,05 0,05 0,1 0,15   0,2 0,1   0,15

Упорядочим запись закона распределения случайной величины Z, причем вероятности одинаковых значений необходимо сложить:

Z            
p (Z)   0,15 0,4 0,3   0,15

(столбцы с нулевыми вероятностями можно опустить).

Найдем M (Z) и D (Z):

M (Z) = 1×0,15 + 2×0,4 + 3×0,3 + 5×0,15 = 2,6 или

M (Z) = М (X + Y) = M (X) + M (Y) = 2,4 + 0,2 = 2,6;

D (Z) = 12×0,15 + 22×0,4 + 32×0,3 + 52×0,15 – 2,62 = 1,44.

6) Используя полученный закон распределения случайной величины Z, построим график (рис. 3) интегрального закона распределения F (z) =p (Z<z) с учетом того, что функция F (z) принимает значения:

 
 




Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 293; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.218.234 (0.007 с.)