Отклонение относительной частоты от вероятности

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1) не превысит положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при

= 2 F (4)

Задача 1. Вероятность выигрыша по билету лотереи равна 1/7. Найти вероятность выиграть: а) по двум билетам из шести; б) не менее чем по двум билетам из шести.

Задача 8. Расчет точечных и интервальных оценок по данным выборки. Полигон.

 

По данным выборки найти доверительные интервалы для оценок с надежностью g =0,95 неизвестных математического ожидания a и стандартного отклонения s ₀ нормально распределенного признака X генеральной совокупности. Построить полигон частот и полигон относительных частот по данным выборки.

 

8.1.

xi	2,5	2,7	2,8	2,9	3,1	3,2
ni

 

8.2.

xi	3,1	3,3	3,4	3,5	3,6	3,8
ni

 

8.3.

xi	3,5	3,6	3,8	3,9	4,0	4,1
ni

 

8.4.

xi	4,1	4,2	4,3	4,5	4,6	4,7
ni

 

8.5.

xi	2,3	2,4	2,5	2,7	2,9	3,0
ni

 

8.6.

xi	5,0	5,2	5,5	5,6	5,9	6,2
ni

 

8.7.

xi	4,6	4,7	4,8	4,9	5,0	5,1
ni

 

8.8.

xi	2,1	2,2	2,4	2,5	2,6	2,7
ni

 

8.9.

xi	3,2	3,4	3,7	3,9	4,1	4,3
ni

 

8.10.

xi	5,1	5,3	5,5	5,7	5,9	6,0
ni						2

Задача 7. Неравенства Маркова и Чебышева.

 

7.1. Среднее число желающих пройти курс лечения в санатории «Ставрополье» составляет 240 человек в месяц. Оценить вероятность того, что число обратившихся за лечением в санаторий в течение месяца составит более 600.

7.2. Оценить вероятность того, что при проверке контролирующими органами района 60 частных предпринимателей на соблюдение ими правил торговли число выявленных нарушений отклонится от ожидаемого не более чем на 5.

7.3. Номинальный размер выпускаемой детали a = 10 мм с допуском ±0,1 мм. Оценить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется бракованной, если среднее квадратическое отклонение размера детали при изготовлении s = 0,05 мм.

7.4. Среднее число заявок в пансионат «Нева» на июнь составляет 500 при среднем квадратическом отклонении 60. Оценить вероятность того, что заявок на этот месяц окажется не менее 350, но не более 650.

7.5. Вероятность того, что не потребуется доработка проекта в процессе строительства объекта равна 0,15. Оценить вероятность того, что из 120 проектов не потребуют доработки более 50 из них.

7.6. Фирма по пошиву женского платья ежемесячно обновляет 10% своей продукции. Оценить вероятность того, что через месяц из 1-ых 70 моделей каталога фирмы окажутся снятыми с производства менее 15 моделей.

7.7. Завод отгрузил реализатору 10000 бутылок с напитком. Вероятность боя стеклотары в пути и при погрузочно-разгрузочных работах в целом составляет 0,01. Оценить вероятность того, что число доставленных в торговую сеть бутылок в сохранности окажется более 9800.

7.8. По данным журнала «Cosmopolitan» в среднем у 75% женщин после 2-х недель применения крема, разработанного лабораториями фирмы L’Oreal, кожа лица становится более упругой. Оценить вероятность того, что этот эффект не проявится у более чем 20 из 40 женщин, применявших в течение 2-х недель рекламируемый крем.

7.9. Раскрываемость преступлений в регионе составляет в среднем 75%. Оценить вероятность того, что из 60 совершенных за месяц преступлений число нераскрытых окажется в пределах от 10 до 20 включительно.

7.10. По телефонному кабелю одновременно пропускается не более 30 аналоговых сигналов. Оценить вероятность того, что линия перегрузится, если математическое ожидание числа одновременно подсоединяющихся абонентов равно 12.

 

Решение. Событие А = {выиграть по билету лотереи}, Так как n = 6, то используется формула Бернулли.

а) Пусть событие В = {выиграть по двум билетам из шести}:

б) Пусть событие С = {выиграть не менее чем по двум билетам из шести}: Получается сложная формула для вычисления вероятности. С другой стороны, используя противоположное событие,

Ответ: а) р (В) = 0,165; б) р (С) = 0,207.

 

Задача 2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах число поражений мишени будет: а) равно 73; б) находится между 80 и 95.

Решение. Событие А = {поражение мишени}, р = р (А) = 0,8; q = 0,2. Так как n = 100, то необходимо найти npq = 100×0,8×0,2 = 16 > 9. Следовательно, используется формула Муавра-Лапласа.

а) Локальный случай:

где

То есть

Значение функции определяется по таблице №1 Приложений.

б) Интервальный случай:

= F (x ₂) – F (x ₁), где ;

То есть, р ₁₀₀(80; 95) = F (3,75) – F (0) = 0,4995 – 0 = 0,4995.

Значение функции F (x) определяется по таблице №2 Приложений.

Ответ: а) р ₁₀₀(73) = 0,022; б) р ₁₀₀(80; 95) = 0,4995.

 

Задача 3. В среднем левши составляют 1%. Найти вероятность того, что в аудитории из 200 студентов окажется: а) ровно 2 левши; б) не менее чем 4 левши; в) хотя бы 1 левша.

Решение. Событие А ={студент – левша}, р = р (А) = 0,01; q = 0,99. Так как n = 200, то найдем npq = 200×0,01×0,99 = 2 < 9. Следовательно, используется формула Пуассона.

а) Локальный случай:

Значение функции е ^{– х} определяется по таблице №3 Приложений.

б) Интервальный случай:

в) Интервальный случай:

.

Ответ: а) р ₂₀₀(2) = 0,27; б) р ₂₀₀(³ 4) = 0,14; в) р ₂₀₀(³ 1) = 0,864.

 

Задача 4. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 30 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Решение. Событие А = {мяч заброшен в корзину}, р = р (А) = 0,4; q = 0,6; n = 36; npq = 7,2.

Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства

. Подставив данные задачи, получим

30∙0,4 – 0,6 £ m ₀ £ 30·0,4 + 0,4 или 11,2 £ m ₀ £ 12,4.

Так как m ₀ – целое число, то m ₀ = 12.

Поскольку npq = 7,2 < 9, то, используя локальную формулу Муавра-Лапласа, найдем где

Тогда

5.7.	f (x) =
5.8.	f (x) =
5.9.	f (x) =
5.10.	f (x) =

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6.

 

Задача 6. Нормальное распределение случайной величины.

Заданы математическое ожидание a и стандартное отклонение s нормально распределенной случайной величины X. Найти:

а) вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b);

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X – окажется меньше d.

 

6.1. a =11 s =3 a =10 b =13 d =6

6.2. a =12 s =4 a =9 b =14 d =5

6.3. a =10 s =2 a =8 b =15 d =3

6.4. a =9 s =5 a =7 b =12 d =2

6.5. a =8 s =6 a =6 b =11 d =1

6.6. a =14 s =3 a =14 b =17 d =9

6.7. a =13 s =7 a =8 b =13 d =4

6.8. a =15 s =8 a =13 b =20 d =5

6.9. a =16 s =5 a =14 b =19 d =6

6.10. a =18 s =4 a =15 b =20 d =2

Задача 5. Непрерывная случайная величина.

Дана плотность распределения f (x) непрерывной случайной величины Х.

Найти:

1) постоянный параметр А;

2) функцию распределения F (x);

3) математическое ожидание M (X), дисперсию D (X) и среднее квадратическое отклонение s (X);

4) вероятность попадания случайной величины X в интервал (a, b);

5) построить графики функций f (x) и F (x).

 

5.1.	f (x) =
5.2.	f (x) =
5.3.	f (x) =
5.4.	f (x) =
5.5.	f (x) =
5.6.	f (x) =

Ответ: m ₀ = 12, р ₃₀(12) = 0,1487.

Задача 5. Сколько нужно провести опытов, чтобы с вероятностью 0,901 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться по абсолютной величине от вероятности появления этого события, равной 0,4, не более чем на 0,1?

Решение. По условию р = 0,4; q = 0,6; e = 0,1;

Воспользуемся формулой (4): 2 F или

F

По таблице №2 Приложений значение аргумента х = 1,65. Следовательно, 0,204 или , n = 65,42.

Таким образом, искомое число испытаний n = 66.

Ответ: n = 66.

 

IV. Cлучайная величина