Задачи на формулу полной вероятности

Задача 17.

Имеются три коробки с шарами. В 1-й находится 5 белых и 3 черных, во второй – 4 белых и 4 черных шара, в третьей коробке – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из коробок. Из нее наугад извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?

Задача 18.

Прибор может работать в двух режимах:

1) нормальном и 2) ненормальном.

Нормальный режим работы наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный — в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме рав­на 0,1; в ненормальном — 0,7. Найти полную вероятность P выхода прибора из строя за время t.

 

Задача 19.

В ящике 8 зеленых и 5 желтых пуговиц. Вынимаются наугад две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одно­цвет­ными?

 

Задача 20.

Студент Петров собирается съездить к приятелю в другой город. К несчастью, его укачивает в транспорте. В автобусе его укачивает в 40% случаев, в самолете – в 30%, а в поезде – в 20% случаев. Зная, какую важную роль играет в жизни теория вероятностей, он решил поступить следующим образом. Если при бросании игральной кости выпадет четное число, то он поедет автобусом, если выпадет цифра 5, то он выбирает самолет, во всех остальных случаях он едет поездом. Оцените вероятность того, что студента Петрова укачает, если результат бросания кости еще неизвестен.

 

Задачи на формулу Байеса

Задача 21.

Редкая и тяжелая форма анемии встречается в 1 случае на 1000 пациентов. Проведя простой диагностический тест, можно получить следующие результаты:

· если пациент действительно болен, то вероятность положи­тельной реакции равна 0,95;

· если человек, прошедший тестирование, здоров, то вероятность отрица­тельной реакции составляет 0,98.

Один очень впечатлительный гражданин, подозревая у себя это заболевание, прошел тестирование. Результат теста – положительная реакция. Врач сказал пациенту, что он болен. Правильно ли врач поставил диагноз? Найдите вероятность того, что пациент действительно болен.

 

 

Задача 22.

В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на 3 произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен:

а) отлично; б) плохо.

 

Задача 23.

Предположим, что в условиях задачи 20 стало известно, что студента Петрова укачало. Найти вероятность того, что он ехал на автобусе.

 

Задача 24.

Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от местоположения и равны cоответственно p ₁, p ₂, p ₃. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе биле­ты будут распроданы, равна для первой кассы P ₁, для второй — P ₂, для третьей — P ₃.

Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

Задачи на распределения случайных величин

Задача 25.

Найдите распределение случайной величины, образующейся при бросании правильного однородного куба с пронумерованными гранями 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составить таблицу распределения, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожида­ние, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

 

Задача 26.

Измерена частота пульса у 100 человек. Получены следующие результаты:

ЧСС
N(число пациентов)

Построить многоугольник распределения. Вычислить математи­ческое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

Задача 27.

О влиянии фармакологического препарата судили по изменению массы лабораторных животных, которым в течение недели вводили препарат. За неделю изменения веса составили (M — масса в г, P — вероятность):

M	-100	-50		+50	+100
P	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение прибавки массы.

Задача 28.

Функция плотности распределения f (x) задана следующим образом:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Задача 29.

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, представленной ниже графиком на рисунке.

Задачи на биномиальное распределение

Задача 30.

Исходя из многолетних наблюдений, вызов врача в некоторый дом оценивается вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что из пяти вызовов врача два вызова будут в данный дом.

 

Задача 31.

Из десяти облигаций в тираже в среднем выигрывает одна. Какова вероятность того, что из двадцати облигаций выиграет только одна?

 

Задача 32.

Предположим, что с вероятностью 0,6 любой человек верит в сказку о загробной жизни. Какова вероятность того, что из 5 человек, услышавших эту сказку, трое верят в загробную жизнь?

 

Задача 33.

Взяты образцы крови у жителей города N. Вероятность обнаружить в крови свинец составляет 0,3. Какова вероятность того, что у четверых из 10 человек, прошедших тестирование, обнаружен в крови свинец?

 

Задача 34.

Вероятность благополучного выздоровления после сложной операции на сердце составляет 0,85. Какова вероятность того, что из 7 пациентов 5 человек выживут после этой операции?