Распределение пуассона (продолжение)

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

	l
k	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
	0,905	0,819	0,741	0,670	0,607	0,549	0,497	0,449
	0,091	0,164	0,222	0,268	0,303	0,329	0,348	0,359
	0,005	0,016	0,033	0,054	0,076	0,099	0,122	0,144
	0,000	0,001	0,003	0,007	0,013	0,020	0,028	0,038
		0,000	0,000	0,001	0,002	0,003	0,005	0,008
				0,000	0,000	0,000	0,001	0,001
							0,000	0,000

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА (продолжение)

	l
k
	0,368	0,135	0,050	0,018	0,007	0,003	0,001	0,000
	0,368	0,271	0,149	0,073	0,034	0,015	0,006	0,003
	0,184	0,271	0,224	0,147	0,084	0,045	0,022	0,011
	0,061	0,180	0,224	0,195	0,140	0,089	0,052	0,029
	0,015	0,090	0,168	0,195	0,176	0,134	0,091	0,057
	0,003	0,036	0,101	0,156	0,176	0,161	0,128	0,092
	0,001	0,012	0,050	0,104	0,146	0,161	0,149	0,122
	0,000	0,003	0,022	0,060	0,104	0,138	0,149	0,140
		0,000	0,081	0,030	0,065	0,103	0,130	0,140
			0,003	0,013	0,036	0,069	0,101	0,124
			0,001	0,005	0,018	0,041	0,071	0,099
			0,000	0,002	0,008	0,023	0,045	0,072
			0,000	0,001	0,003	0,011	0,026	0,048
				0,000	0,001	0,005	0,014	0,030
				0,000	0,001	0,002	0,007	0,017
					0,000	0,001	0,003	0,009
						0,000	0,001	0,005
						0,000	0,001	0,002
							0,000	0,001
							0,000	0,000
								0,000

Распределение Гаусса (Функция распределения).

 

y	F(y)	y	F(y)	y	F(y)
	0,5000	1,0	0,841	2,1	0,9821
0,1	0,5398	1,1	0,8643	2,2	0,9861
0,2	0,5793	1,2	0,8840	2,3	0,9893
0,3	0,6179	1,3	0,9032	2,4	0,9918
0,4	0,6554	1,4	0,9192	2,5	0,9938
0,5	0,6915	1,5	0,9332	2,6	0,9953
0,6	0,7257	1,6	0,9452	2,7	0,9965
0,7	0,7580	1,7	0,9554	2,8	0,9974
0,8	0,7881	1,8	0,9641	2,9	0,9981
0,9	0,8159	1,9	0,9713	3,0	0,9986
1,0	0,8413	2,0	0,9772	3,1	0,9999

 

Таблица критерия Стьюдента.

n	a=0,05	a=0,01
	12,71	63,66
	4,30	9,93
	3,18	5,84
	2,78	4,60
	2,57	4,03
	2,45	3,71
	2,37	3,50
	2,31	3,36
	2,26	3,25
	2,23	3,17
	2,20	3,11
	2,18	3,06
	2,16	3,01

Таблица значений асимметрии

N	a=0,05	a=0,01
	1,13	1,49
	0,92	1,21
	0,79	1,05
	0,71	0,93
	0,63	0,84
	0,59	0,78
	0,52	0,68
	0,47	0,62

 

Таблица значений эксцесса

N	a=0,05	a=0,01
	1,43
	1,41	1,95
	1,31	1,78
	1,19	1,62
	1,11	1,50
	1,05	1,42
	0,94	1,25
	0,85	1,14

Значения критерия Пирсона (критерия c²)

Число степеней свободы, n	a=0,05	a=0,01
	3,84	6,63
	5,99	9,21
	7,81	11,3
	9,49	13,3
	11,1	15,1
	12,6	16,8
	14,1	18,5
	15,5	20,1
	16,9	21,7
	18,3	23,2

Таблица критерия Фишера (a=0,05)

n2	Число степеней свободы n1
	18,51	19,0	19,2	19,3	19,3	19,3	19,6	19,4	19,4	19,4
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	4,74
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75
	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54

 

Табличные значения критерия Вилкоксона

N	a=0,05	a=0,01
		-
		-

Таблицы вероятностей, связанных со значениями критерия Манна-Уитни.

Таблицы вероятностей, связанных со значениями критерия Манна-Уитни. Для экспе­римен­таль­но­го­ значения критерия (меньшего из двух значений ) и объемов выборок находят вероятность того, что обе группы принадлежат одной генеральной совокупности. Таким образом, низкое значение вероятности, например, Р <0.05, указывает на достоверность различия, то есть в этом случае нулевую гипотезу следует отвергнуть.

Таблица 1.

	N1(N2=3)
U
	0,250	0,100	0,050
	0,500	0,200	0,100
	0,750	0,400	0,200
		0,600	0,350
			0,500
			0,650

Таблица 2.

	N1(N2=4)
U
	0.200	0.067	0.028	0.014
	0.400	0.133	0.057	0.029
	0.600	0.267	0.114	0.057
		0.400	0.200	0.100
		0.600	0.314	0.171
			0.429	0.243
			0.571	0.343
				0.443
				0.557

Таблица 3.

	N1(N2=5)
U
	0.167	0.047	0.018	0.008	0.004
	0.333	0.095	0.036	0.016	0.008
	0.500	0.190	0.071	0.032	0.016
	0.667	0.286	0.125	0.056	0.028
		0.429	0.196	0.095	0.048
		0.571	0.286	0.143	0.075
			0.393	0.206	0.111
			0.500	0.278	0.155
			0.607	0.365	0.210
				0.452	0.274
				0.548	0.345
					0.421
					0.500

Таблица 4.

		N1(N2=6)
U
	0.143	0.036	0.012	0.005	0.002	0.001
	0.286	0.071	0.024	0.010	0.004	0.002
	0.428	0.143	0.048	0.019	0.009	0.004
	0.571	0.214	0.083	0.033	0.015	0.008
		0.321	0.131	0.057	0.026	0.013
		0.429	0.190	0.086	0.041	0.021
		0.571	0.274	0.129	0.063	0.032
			0.357	0.176	0.089	0.047
			0.452	0.238	0.12	0.066
			0.548	0.305	0.165	0.090
				0.381	0.214	0.120
				0.457	0.268	0.155
				0.545	0.331	0.197
					0.396	0.242
					0.465	0.294
					0.535	0.350
						0.409
						0.469
						0.531

 

 

Таблица 5.

	N1(N2=7)
U
	0.125	0.028	0.008	0.003	0.001	0.001	0.00
	0.250	0.056	0.017	0.006	0.003	0.001	0.00
	0.375	0.111	0.033	0.012		0.00	0.00
	0.500	0.167	0.058	0.021	0.009	0.00	0.00
	0.625	0.250	0.092	0.036	0.015	0.01	0.00
		0.333	0.133	0.055	0.024	0.01	0.01
		0.444	0.192	0.082	0.037	0.08	0.01
		0.556	0.258	0.115	0.053	0.03	0.01
			0.333	0.158	0.074	0.04	0.02
			0.417	0.206	0.101	0.05	0.03
			0.500	0.264	0.134	0.07	0.04
			0.583	0.324	0.172	0.09	0.05
				0.394	0.216	0.12	0.06
				0.464	0.265	0.15	0.08
				0.538	0.319	0.18	0.10
					0.378	0.22	0.13
					0.438	0.27	0.16
					0.500	0.31	0.19
					0.562	0.37	0.23
						0.42	0.27
						0.47	0.31
						0.53	0.36
							0.40
							0.45
							0.50
							0.55

Таблица 6.

	N1(N2=8)
U
	0.111	0.022	0.006	0.002	0.001	0.000
	0.222	0.044	0.012	0.004	0.002	0.001
	0.333	0.089	0.024	0.008	0.003	0.001
	0.444	0.133	0.042	0.014	0.005	0.002
	0.556	0.200	0.067	0.024	0.009	0.004
		0.267	0.097	0.036	0.015	0.006
		0.356	0.139	0.055	0.023	0.010
		0.444	0.188	0.077	0.033	0.015
		0.556	0.248	0.107	0.047	0.021
			0.315	0.141	0.064	0.030
			0.387	0.184	0.085	0.041
			0.461	0.230	0.111	0.054
			0.539	0.285	0.142	0.071
				0.341	0.177	0.091
				0.404	0.217	0.114
				0.467	0.262	0.141
				0.533	0.311	0.172
					0.362	0.207
					0.416	0.245
					0.472	0.286
					0.528	0.331
						0.377
						0.426
						0.475
						0.525

Таблица критических значений критерия Манна-Уитни для уровня значимости a=0,05.

Если , то различие между выборками достоверно для a=0,05, то есть нулевую гипотезу следует от­вергнуть.

	N2
N1

 

Коэффициент корреляции рангов

N	a=0,05	a=0,01
	0,94	-
	0,85	-
	0,78	0,94
	0,72	0,88
	0,68	0,83
	0,64	0,79
	0,61	0,76
	0,58	0,73
	0,56	0,70
	0,54	0,68

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Задача 1.

Образуют ли полную группу следующие группы событий:

a) Опыт — бросание монеты; события:

· появление герба;

· появление цифры.

б) Опыт — бросание двух монет; события:

· появление двух гербов;

· появление двух цифр.

 

Задача 2.

Являются ли несовместными следующие события:

а) Опыт — два выстрела по мишени; события:

· ни одного попадания;

· одно попадание;

· два попадания.

б) Опыт — два выстрела по мишени; события:

· хотя бы одно попадание;

· хотя бы один промах.

 

Задача 3.

Являются ли равновозможными следующие события:

а) Опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты; события:

· появление герба;

· появление цифры.

б) Опыт — выстрел по мишени; события:

· попадание;

· промах.

 

Задача 4.

Среди 1000 новорожденных оказалось 517 мальчиков. Найти частоту рождения мальчиков.

 

Задача 5.

В аптечке имеется 10 тюбиков пенициллина, 20 тюбиков биомицина, 40 тюбиков анальгина и 30 тюбиков амидопирина. Найти вероятность появления биомицина или анальгина при доста­ва­нии тюбиков.

 

Задача 6.

Медицинская сестра обслуживает в палате четырех больных. Вероятность того, что в течение часа первый больной потребует внимания сестры Р (A) = 0,2, второй больной - Р (В) = 0,3, третий больной - P (С) = 0,25, четвертый больной - Р (D) = 0,1. Найти вероятность того, что в течение часа все больные потребуют к себе внимания сестры.

 

Задача 7.

В семье трое детей. Считая рождение мальчика и девочки равновероятными событиями, найти вероят­ность того, что в семье все мальчики.

 

Задача 8.

Вычислительная машина состоит из N блоков. Надежность (вероятность безотказной работы) в течение времени T первого блока равна P ₁, второго — P ₂ и т.д. Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе любого блока отказывает машина. Найти вероятность того, что машина откажет за время T.

 

Задача 9.

В партии 12 приборов, из них 3 бракованных. Найти вероятность того, что:

· первый взятый наугад прибор — бракованный;

· второй прибор исправный.

Зависимы ли эти события?

 

Задача 10.

При тестировании 2000 человек было обнаружено, что:

 

	Мужчины	Женщины	Всего
Нормальное зрение
Дальтоники
Всего

 

· Какова вероятность быть дальтоником?

· Какова вероятность мужчине быть дальтоником?

· Какова вероятность женщине быть дальтоником?

Задача 11.

Во время эпидемии гриппа из 15 человек, достав­лен­ных в больницу с переломом, 5 оказались больны гриппом. В палату помещают по 4 человека. Найти вероятность того, что в палате окажутся:

· все четверо больны гриппом;

· хотя бы один болен гриппом.

Задача 12.

Сигнальная лампочка прибора с вероятностью 0,1 перегорает при включении в сеть. Найти вероятность того, что она перегорит при втором включении.

 

Задача 13.

Студентка отвечает на вопросы, выбирая из 4 предложенных ответов 1 правильный ответ. Всего 6 вопросов. Какова вероятность ответить на все вопросы неверно?

 

Задача 14.

Гардеробщица выдала номерки одновременно 4-м лицам, сдавшим в гардероб свои куртки. После этого она перепутала все куртки и повесила их наугад. Найти вероятности следующих событий:

а) каждый получит свою куртку;

б) ровно три лица получат свои куртки.

 

Задача 15.

Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 24. В билете три вопроса. Найти вероятность того, что ему в билете попадется хотя бы один вопрос, который он не знает.

 

Задача 16.

В семье двое детей. Найти вероятность того, что оба ребенка мальчики в предположении, что:

а) старший ребенок – мальчик;

б) по крайней мере, один из детей – мальчик.

 

Задача 17.

Имеются три коробки с шарами. В 1-й находится 5 белых и 3 черных, во второй – 4 белых и 4 черных шара, в третьей коробке – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из коробок. Из нее наугад извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?

Задача 18.

Прибор может работать в двух режимах:

1) нормальном и 2) ненормальном.

Нормальный режим работы наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный — в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме рав­на 0,1; в ненормальном — 0,7. Найти полную вероятность P выхода прибора из строя за время t.

 

Задача 19.

В ящике 8 зеленых и 5 желтых пуговиц. Вынимаются наугад две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одно­цвет­ными?

 

Задача 20.

Студент Петров собирается съездить к приятелю в другой город. К несчастью, его укачивает в транспорте. В автобусе его укачивает в 40% случаев, в самолете – в 30%, а в поезде – в 20% случаев. Зная, какую важную роль играет в жизни теория вероятностей, он решил поступить следующим образом. Если при бросании игральной кости выпадет четное число, то он поедет автобусом, если выпадет цифра 5, то он выбирает самолет, во всех остальных случаях он едет поездом. Оцените вероятность того, что студента Петрова укачает, если результат бросания кости еще неизвестен.

 

Задачи на формулу Байеса

Задача 21.

Редкая и тяжелая форма анемии встречается в 1 случае на 1000 пациентов. Проведя простой диагностический тест, можно получить следующие результаты:

· если пациент действительно болен, то вероятность положи­тельной реакции равна 0,95;

· если человек, прошедший тестирование, здоров, то вероятность отрица­тельной реакции составляет 0,98.

Один очень впечатлительный гражданин, подозревая у себя это заболевание, прошел тестирование. Результат теста – положительная реакция. Врач сказал пациенту, что он болен. Правильно ли врач поставил диагноз? Найдите вероятность того, что пациент действительно болен.

 

 

Задача 22.

В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на 3 произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен:

а) отлично; б) плохо.

 

Задача 23.

Предположим, что в условиях задачи 20 стало известно, что студента Петрова укачало. Найти вероятность того, что он ехал на автобусе.

 

Задача 24.

Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от местоположения и равны cоответственно p ₁, p ₂, p ₃. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе биле­ты будут распроданы, равна для первой кассы P ₁, для второй — P ₂, для третьей — P ₃.

Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

Задача 25.

Найдите распределение случайной величины, образующейся при бросании правильного однородного куба с пронумерованными гранями 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составить таблицу распределения, построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожида­ние, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

 

Задача 26.

Измерена частота пульса у 100 человек. Получены следующие результаты:

ЧСС
N(число пациентов)

Построить многоугольник распределения. Вычислить математи­ческое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

Задача 27.

О влиянии фармакологического препарата судили по изменению массы лабораторных животных, которым в течение недели вводили препарат. За неделю изменения веса составили (M — масса в г, P — вероятность):

M	-100	-50		+50	+100
P	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение прибавки массы.

Задача 28.

Функция плотности распределения f (x) задана следующим образом:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Задача 29.

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, представленной ниже графиком на рисунке.

Задача 30.

Исходя из многолетних наблюдений, вызов врача в некоторый дом оценивается вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что из пяти вызовов врача два вызова будут в данный дом.

 

Задача 31.

Из десяти облигаций в тираже в среднем выигрывает одна. Какова вероятность того, что из двадцати облигаций выиграет только одна?

 

Задача 32.

Предположим, что с вероятностью 0,6 любой человек верит в сказку о загробной жизни. Какова вероятность того, что из 5 человек, услышавших эту сказку, трое верят в загробную жизнь?

 

Задача 33.

Взяты образцы крови у жителей города N. Вероятность обнаружить в крови свинец составляет 0,3. Какова вероятность того, что у четверых из 10 человек, прошедших тестирование, обнаружен в крови свинец?

 

Задача 34.

Вероятность благополучного выздоровления после сложной операции на сердце составляет 0,85. Какова вероятность того, что из 7 пациентов 5 человек выживут после этой операции?

 

Задача 35.

Предположим, что на 500 человек приходится 1 алкоголик. Найти вероятность того, что среди 9000 человек будет 7 алкоголиков.

 

Задача 36.

Вычислить вероятности обслуживания в день от 0 до 15 пациентов, если известно, что в среднем на прием к врачу приходит 6 пациентов в день. Составить таблицу распределения и построить график (многоугольник распределения).

Задача 37.

По результатам 10-летних наблюдений за количеством зайцев, попавших под машины на участке лесной дороги длиной в 8 км, было установлено, что эта величина (число зайцев) подчиняется равномерному распределению. Найти вероятность того, что оче­редной заяц попадет под машину между началом участка и 2-м километром.

 

 

Задача 38.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что очередное дорожно-транспортное происшествие с участием зайца произойдет точно на 4-м километре участка.

Задача 39.

Нормальный закон распределения задан в форме уравнения:

 

.

Какова вероятность того, что случайная величина примет значения x < a? x > a?

Задача 40.

В нормальном законе распределения a = 2, σ = 4. Чему равно x, если вероятность того, что случайная величина принимает значения меньше x, равна 3/4?

Задача 41.

Проведены точные измерения дозированного медицинского препарата, предназначенного для инъекций и содержащегося в ампулах по 1 мл в каждой ампуле, с целью уточнения влияния количества вводимого препарата на лечебный эффект.

При проверке 12 ампул получили следующие результаты (в мл):

0,97; 1,07; 1,02; 1,04; 0,97; 0,96; 1,03; 1,05; 0,96; 0,97; 1,05; 1,01.

Считая, что распределение подчиняется нормальному закону, определить вероятность того, что в ампуле меньше одного миллилитра раствора.

 

Задача 42.

Анализ веса 100 новорожденных показал, что у них в интервале от 1,75 до 2,25 (со средним весом 2 кг) попало 5 новорожденных; со средним весом 2,5 кг попало 25 новорожденных, со средним весом 3 кг — 40, 3,5 кг — 25 и 4 кг - 5 новорожденных. Совпадает ли это распределение с нормальным распределением Гаусса? Определить по полученным данным вероятность рождения недоношенного ребенка (m £ 2.4 кг).

Задача 43.

Измерение веса девочек в возрасте 10 лет дало следующие резуль­таты:

Вес (кг)

Число лиц

 

Найти среднее арифметическое значение веса девочек, стандартное отклонение и ошибку среднего арифметического для P _D=0,9.

 

Задача 44.

Пять измерений относительной вязкости крови человека дали следующие результаты: 4,80; 4,70; 4,85; 4,75; 4,90. Найти среднее значение, стандартное отклонение и ошибку среднего арифметического.

 

Задача 45.

Определить среднее значение и стандартное отклонение по данным 20 измерений максимального кровяного давления у одного больного за период болезни:

98, 160, 136, 128, 130, 114, 123, 134, 128, 107, 123, 125, 129, 132, 154, 115, 126, 132, 136, 130.

 

Задача 46.

Десять измерений диаметра капилляра в стенке легочных альвеол дали следующие результаты(в мм):

2.83; 2.82; 2.81; 2.85; 2.87; 2.86; 2.83; 2.85; 2.83; 2.84.

Провести обработку серии этих измерений для P _D=0,95.

 

Задача 47.

Проведены измерения спектральной чувствительности уха на пороге слышимости. Уровень слышимости (L, дБ) измерялся на каждой частоте три раза. Получены следующие результаты:

 

Частота	L 1	L 2	L 3
	-12	-13	-10
	-12	-15	-15
	-20	-25	-20
	-40	-44	-46
	-60	-70	-68
	-54	-58	-58
	-39	-48	-45
	-30	-35	-33
	-10	-12	-8

Провести обработку результатов измерений для P_D=0,9.

Построить график зависимости уровня интенсивности от частоты с указанием доверительных интервалов.

 

Задача 48.

Провести обработку результатов измерений лабораторной работы «Изучение аппарата УВЧ»

По классу точности миллиамперметра вычислить систематическую ошибку для измерения силы тока (см. задание 1).

Ошибку в измерении температуры принять равной половине цены наименьшего деления термометра (см. задание 2).

По результатам построить график с указанием доверительных интервалов.

Задание 1. Изучение распределения поля УВЧ.