Биноминальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса. Флуктуации.

Бином Ньютона выражается формулой Если p+q=1 и p, q>0, то бином Ньютона превращается в биноминальное распределение Биноминальное распределение соответствует распределению вероятности того, что при n испытаниях рассматриваемое событие (имеющее вероятность p) реализуется m раз. В случае больших n и m воспользуемся формулой Стирлинга, получим Дифференцируя это выражение по m и приравнивая к нулю, получим где m₀ – соответствует максимуму биноминального распределения.

Распределение Пуассона: В случае n>>m и np=m₀=const можно воспользоваться формулой Стирлинга В пределе получим - распределение Пуассона.

Распределение Гаусса: Прологарифмируем распределение Пуассона, получим или пользуясь формулой Стирлинга Разложим последнее выражение в ряд Тейлора

вблизи точки m=m₀, ограничиваясь квадратичным членом, получим , - называется распределением Гаусса.

Флуктуация: мерой флуктуации является стандартное отклонение от среднего значения. Роль флуктуации возрастает с уменьшением области, в которой эти флуктуации рассматриваются. В макроскопических системах статических флуктуаций незначительны. Относительная роль флуктуации уменьшается с увеличением области и среднего числа частиц в ней.

 

7.Распределение молекул по скоростям. Распределение Максвелла по вектору скорости. Распределение Максвелла по компонентам скорости.
Скорости молекул в идеальном газе принимают произвольные значения. Скорость молекулы зависит от температуры. Распределение молекул по скоростям было

получено при следующих условиях: все молекулы имеют одинаковую температуру (газ равновесный); при соударениях молекул соблюдается условие детального

равновесия, т.е. при соударении пары молекул, когда эти молекулы поменяли свои скорости, в газе всегда найдутся две другие молекулы, которые приобрели те же самые скорости, которые имелись в первой паре до соударения, иначе, число молекул, имеющих заданную скорость не меняется со временем; все молекулы

одинаковые (имеют одинаковую массу и размер). Максвелл предположил, что число молекул газа, имеющих скорости в диапазоне равно Для нахождения нормировочного

коэффициента учтем, что . Распределение Максвелла покомпонентам скорости имеет вид , и распределение Максвелла по

абсолютному значению скорости имеет вид

 

Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости. Характерные скорости.

Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости имеет вид

Характерные скорости

Средняя арифметическая скорость

Мы знаем среднюю квадратичную скорость. Вычислим среднюю арифметическую скорость по формуле

Нарисуем распределение Максвелла

Распределение Максвелла

Наивероятнейшая скорость

Видно, что распределение Максвелла имеет максимум. Найдем соответствующую этому максимуму скорость, которая называется наивероятнейшей скоростью. Используем условие обращения в нуль производной в соответствующей точке. Имеем

 

 

9.Приведенное распределение Максвелла. Число молекул в различных участках распределения Максвелла. Принцип детального равновесия.

Приведенное распределение

Введем переменную

Тогда распределение Максвелла примет т.н. приведенный вид

Число молекул, имеющих скорости в заданном интервале

Для нахождения числа молекул Δ N, имеющих скорости в диапазоне ϑ1<ϑ<ϑ2, следует найти интеграл

К сожалению, такой интеграл можно вычислить только численным способом. В случае скоростей из диапазона от ϑ до ϑ+Δϑ, где Δϑ<<ϑ, приближенно найдем

Численное вычисление дает

 

10.Число ударов молекул о стенку. Экспериментальная проверка распределения Максвелла. Границы применимости распределения Максвелла.

Экспериментальная проверка

Эксперимент Штерна Эксперимент Элдриджа

Частота ударов о стенку

Для нахождения частоты ударов молекул о стенку сосуда ν необходимо вычислить интеграл

где n – концентрация молекул, s – площадь стенки. При вычислении было учтено, что вклад вносят только молекулы, движущиеся в направлении стенки (находящейся на положительной части оси x) и имеющих направление скорости нормальное, по отношению к стенке.

 

 

11.Поперечное сечение.Средняя длина свободного пробега.Частотоа столкновений.Экспериментальное определение длины свободного пробега молекул. Поперечное сечение. При движении в газе молекула испытывает столкновения, в результате чего она изменяет направление своего движения. Вероятность столкновения с конкретным результатом описывается с помощью понятия поперечного сечения. Пусть падающая частица попадает на площадь S объема, в котором расположены

частицы-мишени с концентрацией n0. В слое толщины dx находится число

частиц-мишеней n0Sdx, а сумма их поперечных сечений, которая как бы закрывает часть площади S, равна dS = n0S dx. Отсюда следует, что вероятность того, что падающая частица попадет в одну из частиц-мишеней в слое dx, равна1

где использовано определение вероятности. Это есть определение поперечного сечения а рассматриваемого процесса. Средняя длина свободного пробега. Величины и n0 не зависят, конечно, от х. Поэтому вероятность события растет пропорционально проходимому падающей частицей пути. Длина пути <l>, при которой эта вероятность равна единице, называется средней длиной свободного пробега. Для ее определения из1получается уравнение , из которого следует, что

Частота столкновений. Падающая частица движется со средней скоростью <v>> и, следовательно, проходит длину

среднего свободного пробега за время t= <l>/<v>. Поэтому средняя частота столкновений (среднее число столкновений за 1 с) равна

При рассмотрении столкновений одинаковых молекул в газах их чаще всего представляют в виде твердых шаров. Пусть молекулы-мишени неподвижны, а падающая на них молекула движется со скоростью <v>>. Очевидно, падающая молекула, пройдя расстояние х, столкнется со всеми молекулами-мишенями, центры которых находятся в круглом цилиндре с радиусом основания 2г0 и высотой х. Средняя длина свободного пробега равна

высоте цилиндра, в котором в среднем находится одна молекула-мишень. Поэтому для определения среднего

свободного пробега получаем уравнение

из которого следует, что

Частота соударений между молекулами на основании равна