Как вводятся основные характеристики статистической совокупности (выборки): среднее, дисперсия, центральные моменты высших порядков,

асимметрия, эксцесс? Какие из перечисленных характеристик остаются неизменными при линейных преобразованиях x → ax + b?

Определение. Центральным моментом порядка k (k е N) случайной величины X называют математическое ожидание k-й степени отклонения = X – m, где m – математическое ожидание X:

 

 

Для дискретных случайных величин формула для центрального момента порядка k выглядит следующим образом:

для непрерывных случайных величин

Определение. Асимметрией распределения называют отношение третьего центрального момента к кубу стандартного отклонения:

Замечание. Асимметрия случайной величины X совпадает с третьим начальным (центральным) моментом соответствующей нормированной случайной величины.

Действительно, по определению

 

 

Определение. Эксцессом распределения называется величина

Поскольку для стандартного нормального распределения N(0, 1) мы нашли, что μ₄ = 3 (см. (6.22)), то для нормального распределения эксцесс равен нулю. В частности, вычисляя эксцесс неизвестного распределения, мы можем судить о близости его к нор-мальному по этой числовой характеристике.

Для биномиального закона

Действительно, воспользуемся формулой (6.18). Имеем

дится ниже и носит название дисперсии.

Определение. Дисперсией случайной величины X называется число

Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения.

Из определения (4.8) легко вытекают следующие свойства дисперсии.

остаются неизменными при линейных преобразованиях x → ax + b Дисперсия, асимметрия, эксцесс

Проблемя, найдите определение средней!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Сформулируйте определение выборочной (эмпирической) функции распр для СВ Х. Как связаны ф-ии распределения признака в генеральной и выборочной совокупностях?

, где n(x)= - эмпирическая ф-ия распределения. Она обладает всеми свойствами функции распределения, при этом она кусочно-постоянна.

Случ выборкой объема n из ген совокупности X называется случ вектор Z_n=(X₁…X_n), компоненты которого являются независимыми СВ, распредел так же как и X. Реализацией выборки называется вектор Z_n=(X₁,…X_n), его компоненты x_n – реализацией X_k. Мн-во S всех реализаций выборки Z_n называется выборочным пространством. F(x) – ген закон распр, то " e>0 limP(|Fn(X)-F(X)|< e)=1; ; при n →µ.

Каким образом на рисунках изображаются выборочные распределения непрерывных и целочисленных случайных величин? Что такое полигон частот? Как строится гистограмма относительных частот? Чему равна сумма площадей столбиков диаграммы?

Хз как ответить на первый вопрос(в учебниках нет), наверное при помощи полигона и гистограммы.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х_1; п₁), (х₂; п₂),..., (x_k; n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат — соответствующие им частоты n_i. Точки (х_i; п_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W{/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hWi/h=Wi—относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице

 

118.Сформулируйте понятие несмещенной точечной оценки. Будет ли оценка математического ожидания m, построенная по результатам двух измерений X1и X2 в форме m=1/10X1+(1-1/10)X2, несмещенной оценкой m?Ответ обоснуйте.

Несмещенной точечной оценкой называют оценку, математическое ожидание которой

равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

параметра называется несмещенной, если В противном случае оценка – смещенная. - является ли несмещенной оценкой?

 

119.Сформулируйте понятие несмещенной, состоятельной и эффективной оценки параметра генерального распределения. Приведите примеры.

Предположим, что функция распределения генеральной совокупности имеет вид где неизвестные параметры. Функцию , которая при фиксированных значениях принимает значение, рассматриваемое как приближенное зна-чение неизвестного параметра θ генерального распределения, называют статистической оценкой па-раметра θ. По определению оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру. Эффективной называют оценку, которая при заданном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию. Наконец, оценка называется состоятельной, если при она стремится (по вероятности) к оцениваемому параметру.

Выборочное среднее

является состоятельной и несмещенной оценкой для генерального среднего. Выборочная дисперсия

является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии. Статистическая оценка

 

называемая исправленной дисперсией, является состоятельной несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

120.Докажите, что для генерального распределения с математическим ожиданием m и конечной дисперсией σ² выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой m.

Выборочное среднее ¯ x=1/n*Σx_n является несмещённой состоятельной оценкой математического ожидания m. Док-во. Поскольку каждая из величин генеральной выборки имеет математическое ожидание M(X), математическое ожидание выборочного среднего ¯ M(X)= 1/n*Σ M(X_i) = M(X), т.е выборочное среднее является несмещённой оценкой. В силу независимости величин выборки D ¯ x=1/n²*ΣD(X_i)=D(x)/n. Состоятельность докажем с помощью нер-ва Чебышева для выборочного среднего с учётом несмещённости: ρ(׀ ¯ x - M(X)׀>= ε) <= D(¯ x) / ε² = D(x)/n ε² для всякого ε>0. Поэтому lim_n→∞ ρ(׀ ¯ x - M(X)׀>= ε)=0. Отсюда lim_n→∞ ρ(׀ ¯ x - M(X)׀< ε)= 1 - lim_n→∞ ρ(׀ ¯ x - M(X)׀>= ε) = 1.

 

121. Пусть X1,…Xn – выборка из распр с дисперсией s2. Док-те, что - несмещенная оценка s².

Пусть Zn = (x₁…x_n) – случ выборка объема n, тогда исправленной выборочной дисперсией называется величина s²=n/(n-1) . Следствие: S² – несмещенная оценка s².

M(S²)=M(n/(n-1) ) = n/(n-1) M() = n/(n-1) * (n-1)/n * s² = s², т.к.

M()= .