Теоремы о вероятности произведения событий.

Определение. Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В при условии, что произошло некоторое событие А с положительной вероятностью, т.е. Р(А)

Теорема 1 (о вероятности произведения).

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А). (5)

Пример. В коробке 10 шаров: 4 белых и 6 черных. По-очереди извлекаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть А – событие: оба шара белые. Тогда А₁ – событие: 1-ый шар белый, А₂ – событие: 2-ой шар белый. Очевидно, что А=А₁А₂. Находим

Р(А)=Р(А₁А₂)=Р(А₁)Р(А₂/А₁) =

Следствие. Вероятность произведения n событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

(6)

Замечание. В частности, для трех событий А, В, С формула (6) принимает вид:

(7)

Введем понятие независимости двух событий.

Определение. Говорят, что событие В не зависит от события А, если Р(В)=Р(В/А).

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В. При этом события А и В называют независимыми.

Замечание. Отметим, что если А и В независимые, то независимы и В, А и , и .

Теорема 2 (о вероятности независимых событий). Если события А и В независимые, то

Р(АВ)=Р(А)Р(В). (8)

Пример. В коробке 4 белых и 6 черных шаров. Два раза извлекают по одному шару и каждый раз кладут его обратно. Найти вероятность того, что оба раза вытащили белый шар.

Решение. Пусть А – событие: оба раза вытащили белый шар. Тогда А₁ – событие: 1-ый раз вытащили белый шар, А₂ - событие: 2-ый раз вытащили белый шар. Очевидно, что А=А₁А₂, причем А₁ и А₂ независимые. Находим

Р(А)=Р(А₁А₂)=Р(А₁)Р(А₂)=

Замечание. Для трех независимых событий А, В, С формула (8) принимает вид:

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С). (9)

Определение. События А₁, А₂,…, А_k называются независимыми в совокупности, если любое из этих событий не зависит ни от какого произведения, составленного из остальных событий.

Следствие. Если события А₁, А₂,…, А_k независимые в совокупности, то

Р()=Р(А₁)Р(А₂)…Р(А_k). (10)

Замечание. Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле:

. (11)

В частности, если события А₁,А₂,…,А_k независимы, то

. (12)

Упражнения.

1. Мастер обслуживает 5 станков. 10% рабочего времени он проводит у первого станка, 15% - у второго станка, 20% - у третьего, 25% - у четвертого, 30% - у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится: 1) у первого или третьего станка; 2) у второго или пятого; 3) у первого или четвертого станка; 4) у третьего или пятого; 5) у первого или второго, или четвертого станка.

Решение.

Обозначим через А, В, С, D, Е – события,состоящие в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится соответственно у первого, второго, третьего, четвертого, пятого станка. Из условия следует, что А, В, С, D, Е попарно несовместны и , , , , .

Принимая во внимание определение суммы событий и теорему сложения вероятностей несовместных событий, находим:

;

;

;

;

.

2. Слово папаха составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешаны. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово папа?

Решение.

Обозначим через А, В, С, D соответственно события: извлечена первая, вторая, третья и четвертая буква слова папа из набора в 6 букв: а, а, а, п, п, х. Найдем вероятность событий: А, В/А, С/АВ, D/ABC.

; ; ; .

В соответствии с формулой (6) при n=4 получаем

.

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти после наступления одного из событий H₁, H₂,…, H_m, причем события H₁, H₂,…, H_m образуют полную группу и попарно несовместны.

Определение. События H₁, H₂,…, H_m называются гипотезами для события А.

Справедлива следующая теорема.

Теорема (формула полной вероятности). Пусть H₁, H₂,…, H_m – гипотезы для события А. Тогда

P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+…+P(H_m)P(A/H_m)

или (*)

P(A) = .

Пример. В магазин поступают изделия с трех фабрик: 20% - с фабрики №1, 30% - с фабрики №2, 50% - с фабрики №3. Фабрика №1 допускает 1% брака, фабрика №2 допускает 2% брака, фабрика №3 допускает 0,5% брака. Случайным образом выбирается одно изделие. Найти вероятность того, что оно бракованное.

Решение. Пусть А – событие: выбранное изделие бракованное. Через H_i обозначим события: изделие поступило с фабрики № i (i=1,2,3), причем H₁, H₂, H₃ попарно несовместны. Тогда по формуле полной вероятности

P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+Р(Н₃)Р(А/Н₃)=

Упражнение.

1. В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наудачу один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку (событие А).

Решение.

Обозначим гипотезы: - «приглашен студент-отличник», - «приглашен хороший студент», - «приглашен слабый студент».

Из условия задачи следует, что

, , ;

, , .

По формуле (*) находим искомую вероятность

P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+P(H₃)P(A/H₃)= .

 

Формулы Байеса

Пусть H₁, H₂,…, H_m – гипотезы для А. Предположим, что событие А уже произошло. Тогда вероятности гипотез, вообще говоря, меняются.

Пример. Имеются две коробки с шарами. В 1-ой коробке содержится 99 белых шаров и 1 черный шар. Во 2-ой коробке содержится 1 белый шар и 99 черных шаров. Случайным образом выбирают коробку и достают один шар. Какова вероятность того, что это белый шар?

Решение. Пусть А – событие: достали белый шар. Тогда Н₁ – событие: выбрана коробка №1, Н₂ – событие: выбрана коробка №2. Р(Н₁)=Р(Н₂)= Тогда .

Предположим, что событие А уже произошло. Тогда гипотеза Н₁ более вероятна.

Справедлива следующая теорема.

Теорема (формулы Байеса). Пусть H₁, H₂,…, H_m – гипотезы для А. Тогда

 

(1)

 

Замечание. Вероятность Р(А) можно вычислить по формуле полной вероятности, поэтому формулы Байеса можно записать в виде:

(2)

Вернемсяк примеру из предыдущего параграфа (§6). Случайным образом выбирается одно изделие, которое оказалось бракованное. Найти вероятность того, что оно будет изготовлено на фабрике №1.

Решение. Для ответа на вопрос задачи найдем Р(Н₁/А). Для этого воспользуемся одной из формул Байеса:

Упражнение.

1. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе , на втором - . Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?

Решение.

Обозначим через событие, состоящее в том, что взятая деталь изготовлена на первом заводе, - на втором заводе, тогда

, .

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь оказалась бракованной.

По условию

, .

В соответствии с формулой (2) в случае m=2 получаем