Схема Бернулли независимых испытаний

Пусть производится серия из n испытаний. После каждого из этих испытаний с вероятностью p может произойти некоторое событие А. Причем вероятность не зависит ни от исхода предыдущих испытаний, ни от последующих. Такая серия испытаний называется схемой Бернулли независимых испытаний.

Обозначим через P_n(m) вероятность того, что событие А в схеме Бернулли из n испытаний произошло ровно m раз. Тогда справедлива следующая формула (формула Бернулли):

P_n(m)= . (1)

Замечание. В дальнейшем число 1-р будем обозначать q, т.е. q=1-p. Тогда формула Бернулли примет вид:

P_n(m)= (2)

Пример. Производится 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,9. Найти вероятность того, что будет ровно 7 попаданий.

Решение. В качестве испытания рассмотрим выстрел, в качестве события А – попадание в цель. Получим схему Бернулли из n=10 испытаний, р=0,9. Требуется найти P₁₀(7):

P₁₀(7)=

Упражнение.

1. Производится серия из 6 бросков монеты. Найти вероятность того, что «орел» выпадет ровно k раз (k=0,1,2,…,6).

Решение.

P₆(0)= [ p=q=1/2] = = P₆(6);

P₆(1)= = P₆(5);

P₆(2)= = P₆(4);

P₆(3)= .

Наиболее вероятно, что «орел» выпадет 3 раза.

 

Интегральная и локальная формулы Муавра-Лапласа

Схема Бернулли при большом количестве испытаний практически плохо применима. Кроме этого, на практике обычно важно знать не вероятность того, что событие произойдет ровно m раз, а вероятность того, что оно произойдет не меньше m₁ раз и не больше m₂ раз. Вероятность такого события будем обозначать:

Обозначим через , через Тогда

, (*)

где - функция Лапласа. Функция Лапласа нечетная и монотонно возрастающая. Формула (*) называется интегральной формулой Муавра-Лапласа.

Кроме интегральной формулы существует еще и локальная формула Муавра-Лапласа:

, (**)

где Функция f(x) четная и монотонно убывающая.

Замечание. Чем больше n, тем точнее формулы (*) и (**).

Примеры.

1) Испытывается 100 приборов. Вероятность того, что прибор не пройдет испытание равна 0,2. Найти вероятность того, что испытание пройдет не менее 72 приборов.

Решение. По условию n=100, p=0,2, q=0,8. Требуется найти вероятность того, что испытание не пройдет 28 или меньше приборов, т.е.

Тогда В результате

2) В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна Т.к. n=400 достаточно велико (npq=64 ), то Тогда

Замечание. Весьма малое значение вероятности не должно вызывать сомнения, т.к. кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,…, «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, a значит, сумма их вероятностей равна 1.

Глава 3. Случайные величины

§1. Понятие случайной величины

Предположим, что в результате испытания некоторая величина принимает какое-либо числовое значение. Такую величину будем называть случайной.

Примеры.

1) Бросается игральный кубик. Случайная величина – выпавшая цифра. Множество значений: {1,2,3,4,5,6}.

2) Бросается монета до тех пор, пока не выпадет герб. Случайная величина – количество бросков. Множество значений: N.

3) Случайная величина, например, - время безотказной работы некоторого механизма. Множество значений: [0;∞).

Первые два примера – это примеры дискретной случайной величины. Третий пример – непрерывной случайной величины.

Определение. Пусть < > - некоторое вероятностное пространство. Случайной величиной, заданной на этом вероятностном пространстве, называется функция , определенная на множестве со значениями во множестве R такая, что для любого х R множество всех элементарных событий , для которых ()< х, является элементом из L.

Символически: .

В дальнейшем это множество будем обозначать ( <x).

Пример. Бросается игральный кубик. Случайная величина - выпавшая цифра. Множество ={Е₁, Е₂, …, Е₆}. Элементарное событие Е_i: выпадение цифры i (i=1,2,…,6). Множество L – это множество всех подмножеств . Случайная величина (Е_i)=i (i =1,2,…,6).

Если L – множество всех подмножеств , то случайную величину можно определять как числовую функцию, заданную на множестве .

Замечание. По аналогии с обозначением ( <x) определим ( >x), (), ( =х₀).