Обратная функция. Композиция функции 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Обратная функция. Композиция функции



 

 

Определение:

Функция называется обратной к , если и каждому элементу она сопоставляет такое, что . Итак по определению имеем, что

 

Если график обратной функции рассматривать в том же множестве , то и поменяются ролями. График обратной функции с аргументом и значением симметричен графику прямой функции, относительно биссектрисы первой и третей четверти.

 

Обратимость

Функции

Определение:

Функция называется обратимой, если обратная функция однозначна.

 

Геометрическим признаком однозначности функции является то, что прямые перпендикулярные оси пересекают её график не более чем в одной точке. Поэтому признак однозначности обратной функции и признак обратимости прямой функции это то, что прямые перпендикулярные оси пересекаются не более чем в одной точке.

 

Композиция функции

, , такую функцию называют композицией функции и обозначают или

 

Пример:

 

Основные элементарные функции

 

 

Постоянная функция:

Степенная функция:

а)

б)

в)

г)

д) при учитывается, что

Показательная функция:

Логарифмическая функция:

Тригонометрические функции:

Обратные тригонометрические функции:

а) Разобьём весь график на промежутки монотонности ...

 
 

выберем в качестве основного промежутка и отобразим обратную функцию на этом промежутке, обозначим

 
 

- радианная мера угла, которого равен , взятому из

- называется главным значением функции

б)

 
 

в)

 

 

Классификация функций

 

 

Элементарные функции – это функции получающиеся из основных элементарных, с помощью конечного числа последовательно выполненных арифметических операций и композиций

В классе элементарных функций выделяют алгебраические и трансцендентные

 

Алгебраические

а) Многочлен или целая рациональная функция. При её образовании используются

действия: «+», «-», «»

б) Рациональные или дробно-рациональные функции. При их образовании

используются действия: «+», «-», «», «:»

в) Иррациональные. При их образовании используются действия: «+», «-», «», «:»,

«»

 

Все остальные функции не являющиеся алгебраическими являются трансцендентными

 

 

Предел функции.

 

Окрестности.

 

10.

Пусть >0, R.

 

Определение1.

окрестностью точки x0 называется отрезок вида (x0- ; x0+ ), где x0 R.

           
     
 

 
 

Определение2.

окрестностью точки + (- ) называется интервал вида (;+ ] ([- ; ))

 

Определение3.

Окрестность точки x0 называется любое численное множество, содержащее некоторую окрестность этой точки U(x0).

 

Ясно, что любая окрестность является окрестностью этой точки.

 

 

20.

Свойства окрестностей.

1) x0 x0 U(x0)

2) Пересечение 2-х окрестностей точки снова является окрестностью этой точки.

3)


Доказательство.

x0 R; U1(x0) и U2(x0)

U (x0) U1(x0) U (x0) U2(x0)

 
 

U (x0) U (x0) =: U (x0),

 
 

Где =min{ ; }

(U (x0) U (x0)) (U1(x0) U2(x0))

 

4) Свойство отделимости.

Если x1, x2 , x1 x2

U(x1) и U(x2): U(x1) U(x2)=Ø

Доказательство.

x1, x2 R, пусть x1<x2
                           
             
 

 

: x1< <x2

U (x1) U (x2) = Ø

 

Определение 4.

Система (множество) окрестностей точки x0 (Ų) (элементы системы являются окрестности) называется фундаментальной, если U(x0)

U Ų: U< U(x0)

 

Пример1.

U:= { U (x0)};

x0 R, >0

система фундаментальная

 

Пример2.

x0 R, {U (x0)} = {x0- , x0 + }

U1(x0) U (x0) U (x0)…

 

5) x0 фундаментальная система вложенных окрестностей (пример2).

 

 

Предельная точка множества.

 

Рассматриваем E R

 

Определение.

a называется предельной для множества E если в U(a) x0 E: x0 a

 

Множество всех предельных для E точек будет называться E’: x0 E’

 

В любой окрестности предельной точки множества E содержится бесконечное число точек из E

 

Доказательство:

U(x0), x0 E’

Допустим, что в окрестности есть конечное число точек из E неравных x0.

По свойству 3 у нас U'(x0): x1 U'(x0),

U2(x0): x2 U2(x0), Uk(x0): xk Uk(x0);

U*(x0) = U'(x0) U2(x0) Uk(x0)

 

Получается, что U*(x0) не содержит ни одной из точек x1, x2,…, xk

U(x0) U*(x0)

Из того, что U*(x0) не содержится ни одной из точек x1, x2,…, xk x0 не является предельной для множества E. Получается противоречие конечного числа точек не может быть.

 

Определение предела.

 

10.

1) f(x)=x+1, x R, f(3)=4. x→3 f(x)→4

2) f(x)= x→0 f(x)→

 

Определение.

Под пределом функции понимается число P функции f(x) при x→x0, если значение функции становится как угодно близким к P, лишь только x из области определения становится достаточно близким к x0.

 

20. Определение (основное определение предела).

Пусть f: X→Y, E X, x0 E (x0 является предельной для E)

Число p называется пределом функции f(x) при x→x0 на множестве E, если U(p) U(x0): x U(x0) E f(x) U(p); p ;

p=lim f(x)

x→ x0,E

 

Геометрическая интерпретация а)


б)

 
 

 

- проколотая окрестность

 

 

30. Определение предела на языке -, - окрестностей.

 

Определение.

Число з называется пределом функции f(x) при x→x0 на множестве E, если U (p) U (x0): x (x0) f(x) U (p)

 

Пример: y U (p)

 

 

|y-p| <

 

p=+ , y U (p)

 

 

y>

 

Осуществляется перевод с языка окрестностей на язык неравенств можно дать определение предела через неравенства для конкретных вариантов.

 

x0 R, p R

p=lim f(x) >0 >0:

x→ x0,E

 

|x- x0| < |f(x) – p| <

где x E, x x0

 

Общие свойства пределов.

 

10.

Свойство 1.

 
 

Пусть f(x) C R limC = C

 
 

x→ x0, x0 R

 

Свойство 2. Единственность предела.

 
 

Пределом функции f(x) при x→x0 единственен.

 

Доказательство.

 
 

(от обратного)

 
 

Пусть p1=lim f(x) U(p1) U'(x0): x U'(x0) f(x) U(p1)

x→ x0,E

и пусть p2=lim f(x) U(p2) U2(x0): x U2(x0) f(x) U(p2)

x→ x0,E

где x E

Выберем U(p1) U(p2) = Ø

Если возьмем x f(x) , чего быть не может.

=Ø =Ø

 

20. Сужение функции.

 

Определение.

Пусть f: X→Y; функция : X1→Y называется сужением функции f на множестве X1 если X1 X; (x) f(x) для x X1

       
   

 
 

Свойство 3.

 

Если

1) lim f(x) = p;

x→ x0,E

2) - сужение f на E1

3) x0 E

lim (x) = p

x→ x0,E1

 

Доказательство:

По определению предела:


U(p) U(x0): x E (x0) (*) f(x) U(p) (**)

Тогда x x0 :


x E1 E и x (x0) тем более выполняется условие (*) (x) f(x), f(x) U(p) (**) p = lim (x)

x→ x0,E1

 

30. Связь между пределами функции на множестве и на его частях.

 

Свойство 4.

Пусть lim f(x) = p, E1 E;

x→ x0,E

x0 E тогда lim f(x) = p

x→ x0,E1

Доказательство следует из предыдущего свойства.

 

 

Свойство 5.

Пусть U (x0) – фиксированная окрестность, а f: E→R, тогда из lim f(x) = p

x→ x0,E U'(x0)

следует, что lim f(x) = p

x→ x0,E

Доказательство:

U(p) U2(x0): x E f(x) U(p)

x U(x0) E

Свойство 6.

Пусть E = E1 U E2, x0 E E

Тогда lim f(x) lim f(x) и lim f(x) и равенству между собой всех трёх

x→ x0,E x→ x0,E1 x→ x0,E2

 

пределов.

 

40. Ограниченная функция.

 

Определение 1.

f: E→R. Функция f называется ограниченной сверху (снизу, просто ограниченной), если множество её значений ограничено сверху (снизу, просто).

 

Например: y = (0;+ ) – ограниченно снизу

[1; + ) – просто ограниченно

 

Определение 2.

Функция называется ограниченной сверху (снизу, вообще на E) при x→ x0 , если U(x0): функция ограниченна сверху (снизу, просто) на E U(x0).

 

 

Свойство 7.

Если существует конечный предел lim f(x) =: p,

x→ x0,E

то функция f ограниченна при x→ x0 на множестве E.



Доказательство.


lim f(x) =:p U (p) U(x0): x (x0) E → f(x) U (p)

x→ x0,E

f(x) U (p) |f(x) – p|< p - < f(x) < p + , а это значит, что значение функции ограниченно.

 

 

50. Предел последовательности.

 

Определение.

Число p называется пределом xn при n→ + , если U(p) Ń(номер) N такой что n > Ń xn U(p)

Например: xn = → 0 при n→ +

U (0) Ń: n > Ń xn U (0), т.е. | xn | <

| | < n >

 

Определение.

Последовательность называется сходящейся если она имеет конечный предел.

 

Свойство 8.

Всякая сходящаяся последовательность ограниченна.

Доказательство.

lim xn =:p R (явл. конечной)

n→ +

 

По свойству 7 xn - ограниченна при n→ + . Это значит, что Ń и числа a,b R: n > Ń a xn b

 

A = min{x1,x2,…xn, a}

B = max{b, x1,x2,…xn}

n N A xn B

 

60. Предел сложной функции.

 

Свойство 9.

Пусть:

1) f: E R→R, g: G f(E\{x0})→R (исключая x0)

 

2) lim f(x) =:y и lim (y) =:p

x→ x0,E y→ y0,G

 

3) y0 f(E\{ x0}), то g(y0) = p

lim g(f(x)) = p (5)

x→ x0,E

 

(5) lim g(f(x)) = lim g(y) (5’)

x→ x0,E y→ lim f(x)

x→ x0,E

 

Доказательство.

Возьмем U(). По условию 2)2 U(y0): y (y0) G g(y) U(p).

(6) (7)

По условию 2)1 выбрали окрестность y0 U(x0): x (x0) E f(x) U(y0)

(8) (9)


Возьмем x (x0) E и рассмотрим f(x) y f(x) (10) возможные варианты:

1) y y0 ;


тогда cогласно (8) и (9) y (y0) f f(E\{x0}) и по (6) и (7) G(y) U(p)

2)
y= y0 ;

Так как y0 (y0) f(E\{x0}), то по условию (3) g(y0)=p g(y) U(p)

 

Итак, в любом случае (y) U(p), g(y)=g(f(x))

Рассмотрим пример, показывающий что при несоблюдении свойства 9 условия 3 формулы (5) может привести к ошибке

f(x)=y0; g(y)=

limg(f(x))= \\g(y0)=0\\ =0

x→ x0

Вычислим формально по формуле (5)

(5) lim g(f(x)) = lim g(y) = y0 = 1

x→ x0,E y→ lim f(x)

x→ x0,E

 

Ошибка заключается в том, что не выполнено условие 3 свойства 9 т.к. y0 является значением функции при x R, между тем g(y0)=0

 

 

Следствие 1.

Пусть lim f(x) =:p, то для последовательности xn (xn x0, xn E): lim xn= x0 (xn→ x0)

x→ x0,E n→

lim f(xn) = p

n→

 

Доказательство.

xn=x(n); lim f(x(n)) lim f(x) = p;

n→ x→ lim f(xn)

 

Условие 3 свойства 9 выполнено, т.к. предел внутренней функции не является не является ее значением.

 

 

Следствие 2.

lim f(x) =:p, то для xn→ x0 при любом выборе значений функции yn f(xn)

x→ x0,E n→

lim yn = p

n→

 

Доказательство.

yn = y(n) является сужением функции f(xn) она имеет тот же предел, что и f(xn)

(по свойству 3)

 

Следствия 1 и 2 часто используют для доказательства отсутствия пределов.

 

 

Пример:

Рассмотрим функцию y=sin

Рассмотрим lim sin -?

x→0

 

1) xn = → 0 при n→

lim sin = lim sin( +2 n) = 1

n→ n→

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 529; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.165.248.212 (0.297 с.)