Обратная функция. Композиция функции

 

 

Определение:

Функция называется обратной к , если и каждому элементу она сопоставляет такое, что . Итак по определению имеем, что

 

Если график обратной функции рассматривать в том же множестве , то и поменяются ролями. График обратной функции с аргументом и значением симметричен графику прямой функции, относительно биссектрисы первой и третей четверти.

 

Обратимость

Функции

Определение:

Функция называется обратимой, если обратная функция однозначна.

 

Геометрическим признаком однозначности функции является то, что прямые перпендикулярные оси пересекают её график не более чем в одной точке. Поэтому признак однозначности обратной функции и признак обратимости прямой функции это то, что прямые перпендикулярные оси пересекаются не более чем в одной точке.

 

Композиция функции

, , такую функцию называют композицией функции и обозначают или

 

Пример:

 

Основные элементарные функции

 

 

Постоянная функция:

Степенная функция:

а)

б)

в)

г)

д) при учитывается, что

Показательная функция:

Логарифмическая функция:

Тригонометрические функции:

Обратные тригонометрические функции:

а) Разобьём весь график на промежутки монотонности ...

выберем в качестве основного промежутка и отобразим обратную функцию на этом промежутке, обозначим

- радианная мера угла, которого равен , взятому из

- называется главным значением функции

б)

в)

 

 

Классификация функций

 

 

Элементарные функции – это функции получающиеся из основных элементарных, с помощью конечного числа последовательно выполненных арифметических операций и композиций

В классе элементарных функций выделяют алгебраические и трансцендентные

 

Алгебраические

а) Многочлен или целая рациональная функция. При её образовании используются

действия: «+», «-», «»

б) Рациональные или дробно-рациональные функции. При их образовании

используются действия: «+», «-», «», «:»

в) Иррациональные. При их образовании используются действия: «+», «-», «», «:»,

«»

 

Все остальные функции не являющиеся алгебраическими являются трансцендентными

 

 

Предел функции.

 

Окрестности.

 

1⁰.

Пусть >0, R.

 

Определение1.

окрестностью точки x₀ называется отрезок вида (x₀- ; x₀+ ), где x₀ R.

Определение2.

окрестностью точки + (- ) называется интервал вида (;+ ] ([- ; ))

 

Определение3.

Окрестность точки x₀ называется любое численное множество, содержащее некоторую окрестность этой точки U(x₀).

 

Ясно, что любая окрестность является окрестностью этой точки.

 

 

2⁰.

Свойства окрестностей.

1) x₀ x₀ U(x₀)

2) Пересечение 2-х окрестностей точки снова является окрестностью этой точки.

3)

Доказательство.

x₀ R; U¹(x₀) и U²(x₀)

U (x₀) U¹(x₀) U (x₀) U²(x₀)

U (x₀) U (x₀) =: U (x₀),

Где =min{ _; }

(U (x₀) U (x₀)) (U¹(x₀) U²(x₀))

 

4) Свойство отделимости.

Если x₁, x₂ , x₁ x₂

U(x₁) и U(x₂): U(x₁) U(x₂)=Ø

Доказательство.

x₁, x₂ R, пусть x₁<x₂

 

: x₁< <x₂

U (x₁) U (x₂) = Ø

 

Определение 4.

Система (множество) окрестностей точки x₀ (Ų) (элементы системы являются окрестности) называется фундаментальной, если U(x₀)

U Ų: U< U(x₀)

 

Пример1.

U:= { U (x₀)};

x₀ R, >0

система фундаментальная

 

Пример2.

x₀ R, {U (x₀)} = {x₀- , x₀ + }

U₁(x₀) U (x₀) U (x₀)…

 

5) x₀ фундаментальная система вложенных окрестностей (пример2).

 

 

Предельная точка множества.

 

Рассматриваем E R

 

Определение.

a называется предельной для множества E если в U(a) x₀ E: x₀ a

 

Множество всех предельных для E точек будет называться E’: x₀ E’

 

В любой окрестности предельной точки множества E содержится бесконечное число точек из E

 

Доказательство:

U(x₀), x₀ E’

Допустим, что в окрестности есть конечное число точек из E неравных x₀.

По свойству 3 у нас U'(x₀): x₁ U'(x₀),

U²(x₀): x₂ U²(x₀), U^k(x₀): x_k U^k(x₀);

U*(x₀) = U'(x₀) U²(x₀) … U^k(x₀)

 

Получается, что U*(x₀) не содержит ни одной из точек x₁, x₂,…, x_k

U(x₀) U*(x₀)

Из того, что U*(x₀) не содержится ни одной из точек x₁, x₂,…, x_k x₀ не является предельной для множества E. Получается противоречие конечного числа точек не может быть.

 

Определение предела.

 

1⁰.

1) f(x)=x+1, x R, f(3)=4. x→3 f(x)→4

2) f(x)= x→0 f(x)→

 

Определение.

Под пределом функции понимается число P функции f(x) при x→x₀, если значение функции становится как угодно близким к P, лишь только x из области определения становится достаточно близким к x₀.

 

2⁰. Определение (основное определение предела).

Пусть f: X→Y, E X, x₀ E (x₀ является предельной для E)

Число p называется пределом функции f(x) при x→x₀ на множестве E, если U(p) U(x₀): x U(x₀) E f(x) U(p); p ;

p=lim f(x)

x→ x₀,E

 

Геометрическая интерпретация а)

б)

 

- проколотая окрестность

 

 

3⁰. Определение предела на языке -, - окрестностей.

 

Определение.

Число з называется пределом функции f(x) при x→x₀ на множестве E, если U (p) U (x₀): x (x₀) f(x) U (p)

 

Пример: y U (p)

 

 

|y-p| <

 

p=+ , y U (p)

 

 

y>

 

Осуществляется перевод с языка окрестностей на язык неравенств можно дать определение предела через неравенства для конкретных вариантов.

 

x₀ R, p R

p=lim f(x) >0 >0:

x→ x₀,E

 

|x- x₀| < |f(x) – p| <

где x E, x x₀

 

Общие свойства пределов.

 

1⁰.

Свойство 1.

Пусть f(x) C R limC = C

x→ x_0, x₀ R

 

Свойство 2. Единственность предела.

Пределом функции f(x) при x→x₀ единственен.

 

Доказательство.

(от обратного)

Пусть p₁=lim f(x) U(p₁) U'(x₀): x U'(x₀) f(x) U(p₁)

x→ x₀,E

и пусть p₂=lim f(x) U(p₂) U²(x₀): x U²(x₀) f(x) U(p₂)

x→ x₀,E

где x E

Выберем U(p₁) U(p₂) = Ø

Если возьмем x f(x) , чего быть не может.

=Ø =Ø

 

2⁰. Сужение функции.

 

Определение.

Пусть f: X→Y; функция : X₁→Y называется сужением функции f на множестве X₁ если X₁ X; (x) f(x) для x X₁

Свойство 3.

 

Если

1) lim f(x) = p;

x→ x₀,E

2) - сужение f на E₁

3) x₀ E

lim (x) = p

x→ x₀,E₁

 

Доказательство:

По определению предела:

U(p) U(x₀): x E (x₀) (*) f(x) U(p) (**)

Тогда x x₀ :

x E₁ E и x (x₀) тем более выполняется условие (*) (x) f(x), f(x) U(p) (**) p = lim (x)

x→ x₀,E₁

 

3⁰. Связь между пределами функции на множестве и на его частях.

 

Свойство 4.

Пусть lim f(x) = p, E₁ E;

x→ x₀,E

x₀ E тогда lim f(x) = p

x→ x₀,E₁

Доказательство следует из предыдущего свойства.

 

 

Свойство 5.

Пусть U (x₀) – фиксированная окрестность, а f: E→R, тогда из lim f(x) = p

x→ x₀,E U'(x₀)

следует, что lim f(x) = p

x→ x₀,E

Доказательство:

U(p) U²(x₀): x E f(x) U(p)

x U(x₀) E

Свойство 6.

Пусть E = E₁ U E₂, x₀ E E

Тогда lim f(x) lim f(x) и lim f(x) и равенству между собой всех трёх

x→ x₀,E x→ x₀,E₁ x→ x₀,E₂

 

пределов.

 

4⁰. Ограниченная функция.

 

Определение 1.

f: E→R. Функция f называется ограниченной сверху (снизу, просто ограниченной), если множество её значений ограничено сверху (снизу, просто).

 

Например: y = (0;+ ) – ограниченно снизу

[1; + ) – просто ограниченно

 

Определение 2.

Функция называется ограниченной сверху (снизу, вообще на E) при x→ x₀ , если U(x₀): функция ограниченна сверху (снизу, просто) на E U(x₀).

 

 

Свойство 7.

Если существует конечный предел lim f(x) =: p,

x→ x₀,E

то функция f ограниченна при x→ x₀ на множестве E.

Доказательство.

lim f(x) =:p U (p) U(x₀): x (x₀) E → f(x) U (p)

x→ x₀,E

f(x) U (p) |f(x) – p|< p - < f(x) < p + , а это значит, что значение функции ограниченно.

 

 

5⁰. Предел последовательности.

 

Определение.

Число p называется пределом x_n при n→ + , если U(p) Ń(номер) N такой что n > Ń x_n U(p)

Например: x_n = → 0 при n→ +

U (0) Ń: n > Ń x_n U (0), т.е. | x_n | <

| | < n >

 

Определение.

Последовательность называется сходящейся если она имеет конечный предел.

 

Свойство 8.

Всякая сходящаяся последовательность ограниченна.

Доказательство.

lim x_n =:p R (явл. конечной)

n→ +

 

По свойству 7 x_n - ограниченна при n→ + . Это значит, что Ń и числа a,b R: n > Ń a x_n b

 

A = min{x₁,x₂,…x_n, a}

B = max{b, x₁,x₂,…x_n}

n N A x_n B

 

6⁰. Предел сложной функции.

 

Свойство 9.

Пусть:

1) f: E R→R, g: G f(E\{x₀})→R (исключая x₀)

 

2) lim f(x) =:y и lim (y) =:p

x→ x₀,E y→ y₀,G

 

3) y₀ f(E\{ x₀}), то g(y₀) = p

lim g(f(x)) = p (5)

x→ x₀,E

 

(5) lim g(f(x)) = lim g(y) (5’)

x→ x₀,E y→ lim f(x)

x→ x₀,E

 

Доказательство.

Возьмем U(). По условию 2)₂ U(y₀): y (y₀) G g(y) U(p).

(6) (7)

По условию 2)₁ выбрали окрестность y₀ U(x₀): x (x₀) E f(x) U(y₀)

(8) (9)

Возьмем x (x₀) E и рассмотрим f(x) y f(x) (10) возможные варианты:

1) y y₀ ;

тогда cогласно (8) и (9) y (y₀) f f(E\{x₀}) и по (6) и (7) G(y) U(p)

2)
y= y₀ ;

Так как y₀ (y₀) f(E\{x₀}), то по условию (3) g(y₀)=p g(y) U(p)

 

Итак, в любом случае (y) U(p), g(y)=g(f(x))

Рассмотрим пример, показывающий что при несоблюдении свойства 9 условия 3 формулы (5) может привести к ошибке

f(x)=y₀; g(y)=

limg(f(x))= \\g(y₀)=0\\ =0

x→ x₀

Вычислим формально по формуле (5)

(5) lim g(f(x)) = lim g(y) = y₀ = 1

x→ x₀,E y→ lim f(x)

x→ x₀,E

 

Ошибка заключается в том, что не выполнено условие 3 свойства 9 т.к. y₀ является значением функции при x R, между тем g(y₀)=0

 

 

Следствие 1.

Пусть lim f(x) =:p, то для последовательности x_n (x_n x₀, x_n E): lim x_n= x₀ (x_n→ x₀)

x→ x₀,E n→

lim f(x_n) = p

n→

 

Доказательство.

x_n=x(n); lim f(x(n)) lim f(x) = p;

n→ x→ lim f(x_n)

 

Условие 3 свойства 9 выполнено, т.к. предел внутренней функции не является не является ее значением.

 

 

Следствие 2.

lim f(x) =:p, то для x_n→ x₀ при любом выборе значений функции y_n f(x_n)

x→ x₀,E n→

lim y_n = p

n→

 

Доказательство.

y_n = y(n) является сужением функции f(x_n) она имеет тот же предел, что и f(x_n)

(по свойству 3)

 

Следствия 1 и 2 часто используют для доказательства отсутствия пределов.

 

 

Пример:

Рассмотрим функцию y=sin

Рассмотрим lim sin -?

x→0

 

1) x_n = → 0 при n→

lim sin = lim sin( +2 n) = 1

n→ n→

 

2) x =