Критерий (Б-К). Существование конечного предела функции.

 

Пусть f: E → R, x₀ E . Для того, чтобы конечный lim f(x) (1) необходимо и

x→ x₀,E

достаточно,

чтобы U(x₀): x (x₀) E выполняется | f(x ) – f(x )| < (2)

т.е. в точках достаточно близких к x₀ значение функции отличается как угодно мало

 

Доказательство.

(Необходимость)

Дано (1), доказать (2)

lim f(x) =: p R

x→ x₀,E

Возьмем > 0, из (1) следует, что U(x₀): x (x₀) | f(x) – p | <

Поэтому, для x (x₀) E | f(x ) – f(x )| < | f(x ) – p | + | f(x ) – p | <

 

(Достаточность)

Выполнено (2), доказать (1)

Воспользуемся критерием существования lim f(x) на языке последовательностей

( x_n → x₀ , y_n f(x_n) lim y_n)

Возьмем x_n → x₀ и выберем произвольную y_n f(x_n)

Возьмем > 0 и по нему выберем U(x₀) указанную в (2)

Тогда x (x₀) означает то, что Ń: n > N x_n (x₀)

Тогда для n, m > Ń x_n, x_m (x₀)

Следовательно | f(x_n) – f(x_m) | < и тем более | y_n – y_m | < по критерию (Б-К) для последовательности получаем, что y_n - сходящаяся т.е. существует конечный lim y_n

Но из lim y_n lim f(x)

 

3.15. Сравнение функции при x→ x₀ , E.

(В этом параграфе все функции однозначны)

 

1⁰.

Определение.

Пусть f, g: E → R, x₀ E .

Функция f(x) называется б.м.ф. по сравнению с g(x) при x→ x₀ , E (б.б.ф),

если U(x₀): на части (x₀) E f(x) представимо в виде

f(x) = (x)*g(x), где (x) – б.м.ф. при x→ x₀ , E.

В случае, если такое представление возможно и lim (x) = 1 при x→ x₀ , E, то функция f(x) и g(x) называются эквивалентными.

 

Обозначение: f(x) ~ g(x)

x→ x₀,E

б.м.ф. f(x): f(x) = 0*g(x)

 

 

2⁰. Б.м.ф. по сравнению с другими при x→ x₀ , E.

 

Если g(x) 0 на E\{x₀}, то утверждение, что f(x) – б.м.ф. по сравнению с g(x) при x→ x₀ равносильно утверждению, что lim = 0

x→ x₀,E

 

 

Пример.

 

1) x² = 0(x) при x → 0

lim = lim x = 0

x → 0 x → 0

 

2) sin² x * sin = 0(x*sin ) при x→ x₀

lim = lim = sin x = 0

x → 0 x → 0

 

 

Замечание.

В записи f(x) = 0(g(x)) при x→ x₀, E.

Правая часть не означает конкретную функцию, а лишь означает, что речь идет о б.м.ф. при x→ x₀

 

Свойства б.м.ф.

1) -0(g(x)) = 0(g(x))

2) 0(g(x)) + 0(g(x)) = 0(g(x))

3) h(x)*0(g(x)) = 0(h*g)

 

Доказательство (3-его св-ва)

Пусть f(x) = 0(g(x)) при x→ x₀, E. Это значит, что f(x) = (x)*g(x)

x→ x₀, E.

Тогда h(x)*f(x) = h(x)* (x)*g(x)

(x) → 0, следовательно

h(x)* (x)*g(x) = 0(h*g)

 

 

3⁰. Б.б.ф. по сравнению с другими при x→ x₀, E.

 

f(x) – б.б.ф. по сравнению с g(x) при x→ x₀ g(x) = 0(f(x)) при x→ x₀, E.

Так что x является б.б.ф. по сравнению с x² при x → 0

 

 

4⁰. Функции ограниченные по сравнению с другими.

 

Определение.

f(x) называется ограниченной по сравнению g(x) при x→ x₀, E, если U(x₀): на части (x₀) E f(x) представимо в виде

f(x) = (x)*g(x), где (x) – ограниченная функция при x→ x₀ , E.

 

Обозначение: f(x) = 0(g(x)) – ограниченная функция

 

 

Пример.

x*sin x при x→ + = 0(x)

x*sin x = (x)*x

(x) = sin x

sin x – ограниченная функция.

 

Требование данного поределения тому, что С R: | f(x) | C*| g(x)|

x (x₀) E

 

 

Свойства ограниченной функции.

1) Если lim =: p R, то

x→ x₀,E

f(x) = 0(g(x)) при x→ x₀

 

2) 0(g(x)) + 0(g(x)) = 0(g(x))

 

Замечание.

Если одновременно выполняется, что f(x) = 0(g(x)) и g(x) = 0(f(x)) при x→ x₀ , то говорят, что f(x) и g(x) одного порядка.

 

Обозначение: f(x) = 0^*(g)

 

Пример.

f(x) = x g(x) =

lim

lim

 

5⁰. Эквивалентные функции.

 

Свойства:

1) Если g(x) 0,

f ~ g означает lim

 

2) Утверждение, что f ~ g при x→ x₀ , E f(x) можно представить в виде

f(x) = g(x) + 0(g(x)) при x→ x₀ , E

 

Доказательство.

f(x) ~ g(x) при x→ x₀ , E f(x) = (x)*g(x), где (x) = 1 при x→ x₀

Тогда можно записать

f(x) = (1 + (x))*g(x), где (1 + (x)) = (x)

f(x)= g(x) + (x)*g(x), где (x) → 0

f(x) = g(x) + 0(g(x))

 

3) Отношение эквивалентности функции при x→ x₀ обладает свойствами:

a) рефлексивность (отображательность) – т.е. f(x) справедливо f(x) ~ f(x)

x→ x₀

б) симметричность f(x) ~ g(x) g(x) ~ f(x)

в) транзитивность f(x) ~ g(x), g(x) ~ h(x) f(x) ~ h(x)

 

Доказательство.

f(x) ~ g(x) f(x) = (x)*g(x), где (x) = 1 при x→ x₀

g(x) ~ h(x) g(x) = (x)*h(x), где (x) = 1 при x→ x₀

f(x) = (x)* (x)*h(x) f(x) ~ h(x)

 

4) Если f(x) ~ f₁(x), g(x) ~ g₁(x) при x→ x₀ , E, то:

а) f(x)*g(x) ~ f₁(x)*g₁(x)

б) при g(x),g₁(x) 0 ~

 

5) Если f ~ g x→ x₀ , E, то lim f(x) lim g(x): lim f(x) = lim g(x)

x→ x₀,E x→ x₀,E x→ x₀,E

(при условии существования хотя бы одного из них).

 

Доказательство.

f(x) ~ g(x) (*)

x→ x₀,E

Пусть lim f(x) =: p R

x→ x₀,E

из (*) следует g ~ f т.е. g = (x)*f, где (x) = 1

lim g(x) = lim ( (x)*f(x)) = lim (x) * lim f(x) = (когда они конечны) = lim f(x) =: p

 

1) Если f(x) ~ f₁(x), g(x) ~ g₁(x) при x→ x₀ , E, то:

а) lim f(x)*g(x) lim f₁(x)*g₁(x) причем они равны.

б) g(x), g₁(x) 0 lim lim , причем эти пределы совпадают.

 

При вычислении пределов произведения, частного, множители (делимое и делитель) можно заменить эквивалентными выражениями, прмчем это не повлияет ни на существование предела, ни на его значение.

 

 

Пример:

lim = // sin x ~ x // = lim

x → 0 x → 0 x → 0

 

tg x ~ x

 

7) Если

а) f(y) ~ g(y) при y → b, G

б) y: E → G, a E , lim y(x) = b

x → a

в) b y (E\{a}), f(b) = g(b)

(т.е. если b y (E\{a}) не выполняется, то от функции f и g ничего не требуется).

 

Тогда f(y(x)) ~ g(y(x))

x → a, E

 

Примеры:

sin y ~ y, y → 0;

sin x³ ~ x³, x → 0;

1 – cos x = 2sin² = 2sin *sin ~ 2* * =

 

1 – cos x ~

x → 0

lim

 

 

Замечание.

Если lim f(x) = p, то f(x) ~ p

x→ x₀,E

 

lim

x→ x₀,E

 

 

Замечание.

При вычислении пределов в алгебраических суммах эквивалентность использовать нельзя.