Числовые равенства и неравенства

Равенство может быть верным и неверным.

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1-го класса используются примеры с окошками.

Например, вставь в окошки подходящие числа:

5-1=; + = 4

Методом подбора ученик находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.

Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.

Если одно число больше (меньше) другого, или одно выражение имеет значение больше (меньше), чем другое выражение, то, соединённые соответствующим знаком, они образуют неравенство.

Неравенства также могут быть верными и неверными:

Подбери числа так, чтобы записи были верными:

>

<

 

Методом подбора ученик находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.

Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий.

 

1) Сравнение чисел. Начинается в дочисловой период первого класса

· Путём соотнесения множеств один к одному

 

3=3

· Путём счёта элемента множества.

Положи слева кружки, а справа – треугольники. Каких фигур меньше? (кружков так как 5<7)

 

· По месту числа в натуральном ряду. 7>5,так как 7 в натуральном ряду стоит после 5.

· При изучении многозначных чисел путём сравнения разрядов, начиная с высшего.

450<475, так как 5 десятков < 7 десятков.

52345>9276, так как количество разрядов больше

53275<53901, так как 2 сотни < 9 сотен.

2) Сравнение именованных чисел. Заданные величины выражают в одинаковых единицах измерения (чаще всего в меньших) и сравниваются полученные числа.

3 км 500 м > 3 км 050м

3500 м > 3050 м

Задания для сравнения должны быть разнообразными:

a) 7 км 300 м =мм м

5090 кг = ц кг

 

b) ч < мин

 

см = дм

 

c) Вставить наименование

16 мин >16 … (сек)

35км = 35000 … (м)

d) Сравни, проверь и исправь ошибки.

4 т 8 ц = 480 кг (>) 2 м 05 см = 250 см (<)

4800 кг >480 кг 205 см < 250 см

 

3) Сравнение выражения и числа. Объяснение в 1 классе при изучении нумерации первого десятка.

На наборном полотне 3 треугольника и 3 круга.

 

 

 

 

 

3=3

Каких фигур больше? (поровну)

К 3 треугольникам придвинь ещё 1. Сколько треугольников стало? (4) Как получили?

 

 

3+1 3

 

Прочитай выражение: 3+1 (сумма 3 и 1). Сравните сумму 3 и 1 и числа 3.

3+1>3

Прочитай полученное неравенство (сумма 3 и 1 больше, чем 3)

Доказательство: 3+1 > 3, так как 4 > 3

Аналогично решаются неравенства вида

3-1 < 3

3 3

 

 

3-1 < 3, так как 2 < 3

Позднее дети находят значение выражения и сравнивают его с числом.

5+3… 8

8>5

Полезно дать на сравнение следующие выражения:

19-0…19 8…1*8 0/5…0 0/5…5

При выборе знака сравнения ученик вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака.

Возможен и другой способ выбора знака сравнения – без ссылки на вычисления значения выражения.

Например:

7+2…7; 10-3…10

4) Сравнение двух выражений.

Сравнить 2 выражения – значит сравнить их значения. Вводится при изучении = и – в пределах 10, а затем при изучении действий во всех концентрах.

При выборе знака сравнения ученик вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:

35*1…35*0+35; 48:4…52:4

Возможен другой способ выбора знака сравнения – без ссылки на вычисления значения выражения:

5+4… 5+3; 7-5…7-3

Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах используются задания вида:

Проверь, верны ли неравенства:

45- 18<42; 50-8<58-10; 27+15>32

Выпиши верные равенства и неравенства:

9дес.9ед. >100; 5см 6мм+65мм; 69+8=77; 90-7<89

Для проверки используется метод вычисления значений и сравнения полученных чисел.

Неравенства с переменной.

Неравенство с переменной – математическая запись, состоящая из

выражения с переменной и другого числа или выражения, соединённые знаками «>» или «<».

Подготовка: 6+4>… 7+4<7+…

После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:

С+3 <5, 10-с > 5, с*4>12, 72/с < 36

Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число:

· Сначала для облегчения подбора дается ряд чисел: а+24>40, где а=15.16,17,18

· Подбор чисел самостоятельно 6*с < 37,с = 0,1,2,3,4,5,6. Какое самое маленькое (большое) число?

Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).

В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ученик ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.

4. Процесс усвоения младшими школьниками понятия «уравнения» и способов его решения можно разделить на три этапа:

1) Подготовительный.

На этом этапе подготовка учащихся к решению уравнений осуществляется по двум направлениям. 1-ое направление связано с усвоением взаимосвязи между компонентами каждого арифметического действия (как найти неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое). 2-ое направление связано со специальными упражнениями, в процессе выполнения которых у учащихся формируется представление о переменной и о верном или неверном числовом равенстве («примеры с окошками»). В процессе выполнения упражнений ученики овладевают одним из способов решения уравнения – подбором числового значения, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Правильная организация учебной деятельности школьников существенно зависит от тех заданий, которые формулирует учитель, предлагая им «примеры с окошками».

3+ =7. Вставь в окошко нужное число.

Дети быстро дают ответ, опираясь на знание состава числа, а способ подстановки теряет свой алгебраический смысл.

Необходимо иначе формулировать задание:

· Какое число нужно вставить в окошко, чтобы получить верное равенство?

· Объясни, почему числа 1, 2, 3, 5 нельзя вставить в окошко?

· Какое равенство получим, если вставим в окошко число 6?

Поставленные таким образом вопросы подготавливают учащихся к осознанию такой операции, как проверка решения уравнения.

2) Знакомство с уравнением и овладение способами его решения.

Замена окошка латинской буквой (а, с, d), введение термина «неизвестное число», узнавание уравнений среди других математических записей (выражения, равенства, неравенства), ориентируясь на то, что уравнение – равенство, содержащее неизвестное число.

Сравнение двух записей вида:

6+ =9 и 6+с=9 позволяют учащимся самостоятельно справиться с решением уравнений способом подбора. Аналогично 6* =30; 6*а=30; 40: =5; 40:с=5.

Для того, чтобы учащиеся при решении уравнений использовали правила, раскрывающие взаимосвязь компонентов арифметических действий, надо предлагать упражнения, которые нельзя быстро решить методом подбора.

1сл. 2сл. сумма

Х + 13 = 71

Решить уравнение – значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным. Это число называется корнем уравнения. Если значение неизвестного числа найдено верно, то получается верное равенство.