Неравенство Коши-Буняковского

Рассмотрим неравенство Коши в пространстве R_n.

Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства R_n

n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле

,

называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается R_n.

Ясно, что тогда и только тогда, когда x = y, т. е. когда

при всех i = 1, 2,.,n. Также ясно, что .Докажем, что для любых трех точек

(2)

Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны, и потому называется неравенством треугольника. Также

данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и называется аксиомой треугольника

Предварительно установим важное неравенство Коши

, (3)

справедливо для любых вещественных чисел a_i и b_i.

Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax²+2Bx+C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант *.

Составим вспомогательную функцию от вещественной переменной x, сводящуюся к квадратному трехчлену:

,

где

Из определения видно, что при всех x.

Тогда, на основании предыдущего замечания,

это и есть иначе записанное неравенство Коши.

Далее из неравенства (3) выведем еще одно неравенство

(4)

(a_i и b_i – любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши. Для доказательства неравенства (4) извлечем квадратные корни из обеих частей неравенства (3), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и прибавим к ним выражение

. В результате получим

 

 

Это неравенство можно переписать и так:

Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (4).Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (2).

 

Пусть

 

 

Полагая в неравенстве (4)

мы получим неравенство (2).

 

Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.

Пусть множество l состоит из всех бесконечных числовых

последовательностей удовлетворяющих условию

Таким образом, l – метрическое пространство

Обозначим через l² множества всех таких последовательностей

вещественных чисел, для которых , и положим

.

Прежде всего нужно проверить, что конечно (т. е. что ря в правой части сходится) для любых x и y из l². А для этого сначала покажем, что неравенство Коши (4) справедливо и для бесконечных последовательностей чисел a_i и b_i (i=1, 2,.). Действительно, беря произвольное натуральное n, запишем неравенство (4), а затем перейдем в нем к пределу при . Получим неравенство

, (5)

которое мы будем называть неравенством Коши для бесконечных

последовательностей. Аналогичным образом из неравенства (3) выводится и другое неравенство Коши для бесконечных последовательностей:

. (6)

Из неравенства (5), в частности, следует, что если

и , то и последовательность , т.е. .

Теперь проверка выполнения в l² аксиом метрического

пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для R_n.

Пространство l² иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.

Неравенство треугольника.

Если x и y –произвольные векторы, то по

аналогии с элементарной геометрии вектор x+y естественно называть

третьей стороной треугольника, построенного на векторах x и y.

Используя неравенство Коши–Буняковского, мы получаем

или

(7)

(8)

Неравенства (7)–(8) называются неравенствами треугольника. Геометрически они означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон.

 

 

Глава 3. Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные.

Множества связные несвязные

Понятия относящиеся к множествам точек в .

Пусть -- отрезок на вещественной оси , переменная на которой обозначается буквой . Рассмотрим функций

, заданных на отрезке . Каждому соответствует тогда точка пространства . Получаем отображение

 

сопоставляющее каждому соответствующую точку . Это отображение называется вектор-функцией, заданной на отрезке .

Пусть теперь все функции , задающие вектор-функцию , непрерывны на отрезке . Тогда и вектор-функцию будем называть непрерывной. Для такой непрерывной вектор-функции, при изменении на отрезке точка непрерывно перемещается из положения в положение .

 

 

Определение. В описанной выше ситуации будем называть отображение

 

 

заданное формулой , непрерывным путём, или просто путём, соединяющим точку с точкой пространства .

Рис.

 

Множество всех точек будем называть непрерывной линией в , соединяющей точки и , а ту вектор-функцию , которая порождает линию -- параметризацией этой линии. Заметим, что одна и та же линия может иметь разные параметризации. Например, на плоскости с координатами отрезок оси можно параметризовать, положив либо , либо (разумеется, формулы , при любом задают ещё бесконечное множество различных параметризации той же линии ).

Определение: Множество называется связным, если любые две точки и этого множества можно соединить непрерывной линией , целиком лежащей в множестве , то есть если существует путь , начинающийся в и заканчивающийся в , такой что при всех .

Примеры связных областей на плоскости.

 

Связными областями являются:

1) всё пространство ;

2) замкнутые и открытые шары;

3) гиперплоскости;

4) замкнутые и открытые полупространства;

5) замкнутые и открытые параллелепипеды;

6) положительный и неотрицательный октанты.