Неравенство Коши-Буняковского.

Неравенство Коши-Буняковского.

Скалярным произведением векторов х,у принадлеж. R ⁿ: x=(x₁,…,x_n), y=(y₁,…y_n) называется число (х,у)=

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо неравенство

Доказательство:

Возьмем произвольное число t и составим вектор

Тогда

Легко заметить квадратный трехчлен, если =α, =β, а =γ, т.е.

Квадратный трехчлен при любом значении t неотрицателен, поскольку ≥0, следовательно, дискриминант данного трехчлена неположителен.

D= β²- α γ≤ 0, подставим обратно выражения в неравенство:

- ≤0, или , чтд.

 

Т.о., нер-во Коши-Буняковского равносильно неравенству

 

Неравенство треугольника.

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо соотношение, называемое неравенством треугольника:

Доказательство:

В силу неравенства Коши-Буняковского, согласно которому ,

²+2 + ²=( + )²

Извлечем корень из обеих частей этого неравенства без потери знака, т.к. обе части заведомо положительны.

Получим:

 

Линейная независимость лестничной системы векторов.

Предложение: любая лестничная система векторов линейно независима.

Доказательство:

Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть, например, а линейно выражается через b, c, …, то есть

Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора равна нулю (из определения лестничной системы векторов первая координата всех последующих векторов равна нулю).

Полученное противоречие доказывает, что линейная система векторов линейно независима.

 

4. Однозначность разложения вектора по базису.

Предложение: Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Доказательство:

Допустим,что существуют два способа разложения вектора а по базису

Тогда

И

Если вычесть эти два равенства, получим, что

Так как векторы базиса линейно независимы, то они не равны нулю.

Значит, =0, =0, …, =0

То есть k=l, и существует лишь один способ разложения вектора по базису.

 

Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.

Используя формулу умножения комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

= /используя тригонометрические формулы косинуса и синуса суммы/

=

 

Т.о., для умножения z₁ на z₂ модули этих чисел следует перемножить, а аргументы сложить.

 

Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.

, где z ₂≠0.

Используя формулу деления комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

=

/учитывая основное тригонометрическое тождество, согласно которому =1/

= ()+ () i =

/используя тригонометрические свойства косинуса и синуса суммы и разности/

=

 

Таким образом, для нахождения частного z₁/z₂ следует модуль числа z₁ разделить на модуль числа z₂, а из аргумента числа z₁ вычесть аргумент числа z₂

 

 

Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

 

Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Запишем общий вид однородной системы m уравнений с n неизвестными:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+…+ а_1nх_n=0

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+…+ а_2nх_n=0

…

а_m1х₁+ а_m2х₂+…+ а_mnх_n=0, где n>m

Применим к системе метод Гаусса.

В процессе преобразований не могут получиться противоречивые уравнения

, где b ≠0,

т.к. все свободные члены уравнений – нули.

Значит, после некоторого числа шагов мы получаем систему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неизвестное. Но поскольку число уравнений меньше числа неизвестных, то и число базисных неизвестных должно быть меньше числа неизвестных. Следовательно, обязательно имеются свободные неизвестные, а система имеет бесчисленное множество решений.

 

Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.

- ортогональный базис

Кривые 2 порядка

 

 

Уравнение эллипса (рис.1):

 

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ (рис.1), при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY, а при a = b эллипс становится окружностью (фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.

 

Отрезок F1F2 = 2 с, где, называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a, e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

 

 

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

 

Простейшее уравнение гиперболы

 

 

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

 

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

 

a2 + b2 = c2.

 

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

 

x2 - y2 = a2.

 

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

 

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

 

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

 

Простейшее уравнение параболы

 

y2 = 2px. (*)

 

Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

 

Координаты фокуса F параболы (*). (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*)

 

 

Эксцентриситет параболы e = 1.

 

y2 = 2px (p > 0)

 

Две пересекающиеся прямые

Две параллельные прямые

Двукратная(одна) прямая

x2 = 0

Мнимые параллельные прямые

Мнимый эллипс

Неравенство Коши-Буняковского.

Скалярным произведением векторов х,у принадлеж. R ⁿ: x=(x₁,…,x_n), y=(y₁,…y_n) называется число (х,у)=

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо неравенство

Доказательство:

Возьмем произвольное число t и составим вектор

Тогда

Легко заметить квадратный трехчлен, если =α, =β, а =γ, т.е.

Квадратный трехчлен при любом значении t неотрицателен, поскольку ≥0, следовательно, дискриминант данного трехчлена неположителен.

D= β²- α γ≤ 0, подставим обратно выражения в неравенство:

- ≤0, или , чтд.

 

Т.о., нер-во Коши-Буняковского равносильно неравенству

 

Неравенство треугольника.

Для любых двух векторов а и b в евклидовом пространстве справедливо соотношение, называемое неравенством треугольника:

Доказательство:

В силу неравенства Коши-Буняковского, согласно которому ,

²+2 + ²=( + )²

Извлечем корень из обеих частей этого неравенства без потери знака, т.к. обе части заведомо положительны.

Получим: