Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений имеет вид

, где Х₀ – некоторое (частное) решение неоднородной системы уравнений

 

- общее решение однородной системы

AX=B

A(X₀+C₁X₁+C₂X₂+…+ C_nX_n)=AX₀+C₁AX₁+…+C_nAX_n=AX₀=B

 

Множество решений неоднородной системы линейных уравнений не образует линейного пространства.

10. Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

 

(Правило Крамера для системы n x n) – Пусть дана система АХ=В из 2 линейных уравнений с 2 неизвестными. То есть у нас получается системы 2х2.

Если |А|≠0, то системы имеет единственное решение:

, где А₁ означает матрицу, полученную из А заменой 1 столбца столбцом В, а А₂ получена из А заменой второго столбца столбцом В.

 

 

 

 

11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.

Начнем с определения, что такое ортонормированная система.

Здесь доказывается линейная независимость 3х3

Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.

- ортогональный базис

Невырожденность ортогональной матрицы.

 

14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

А’=T^-1AT

Пусть А – матрица линейного преобразования f в базисе .

Предположим, что мы переходим к новому базису, в котором преобразованию отвечает новая матрица А’, а Т есть матрица перехода от исходного базиса к новому базису.

Х=ТХ^’, где Х – столбец из старых координат разложенного по базису вектора, а Х’ – столбец из новых координат. Аналогично Y=TY’

Учитывая, что Y=AX, Х=ТХ^’ и Y=TY’, установим связь между Х’ и Y’.

Y’=T^-1Y=T^-1AX=T^-1ATX’

Отсюдаследует, что матрицей отображения А в новом базисе будет матрица A’=T^-1ATX, чтд.

 

Равенство характеристических многочленов подобных матриц.

А

В: Р^-1АР

 

16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.

Будем вести индукцию по n. В случае n =1 любое преобразование имеет вид

Поэтому любой ненулевой вектор х является собственным, и доказывать нечего.

Предположим, что утверждение теоремы верно для симметрических преобразований в евклидовом пространстве размерности n-1, и в этом предположении докажем его для евклидова пространства размерности n.

Прежде всего возьмем какое-либо собственное значение λ₁ симметрического преобразования f. По теореме о действительности корней уравнения симметрической матрицы λ₁ – действительно число. Пусть а ₁ – соответствующий собственный вектор.

Обозначим через S – множество всех векторов , ортогональных к а ₁

Так как подпространство S есть ортогональное дополнение к линейной оболочке L(а ₁), то его размерность равна n-1. Покажем, что это подпространство выдерживает действие f. Это означает, что если , то . Действительно,

Из сказанного следует, что действие f на всем пространстве V можно при желании сузить до действия f на подпространстве S. Применяя предположение индукции, получим, что в S существует ортогональный базис , состоящий из собственных векторов преобразования, т.е.

Вместе с равенством это доказывает нашу теорему.

 

Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.

, где х – вектор-столбец.

Х=РY

|P|≠0, B=P^TAP

à =Y^TBT

 

20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств
Лемма: Пересечение нескольких выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство. Пусть М = LÇN, где L, N выпуклы.

Пусть АÎM и BÎМ => AÎL и BÎL.

L выпуклое => [А,В] Ì L.

Пусть АÎM и BÎМ => AÎN и BÎN.

N выпуклое => [А,В] Ì N.

=> [А,В] Ì М => М - выпуклое.

 

14(411)Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

n – мерное пространство.

V_n – базис, состоящий из n векторов.

 

В пространстве есть базисы

Введем матрицу перехода от к .

 

 

Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.

y M (x;y)     F1 (-c;0) O F2 (c;0) x

Эллипсом называется

геометрическое место всех

точек плоскости, сумма

расстояний от которых до

до фокусов есть величина

постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF₁ + MF₂ = 2a

Т.к.

То получаем

Или