Корни уравнения четвертой степени

 

Уравнение четвертой степени

(2.4) решается методом Феррари. Преобразуем левую часть (2.4) с помощью вспомогательного параметра следующим образом:

. (2.5) Параметр подбирается таким образом, чтобы выражение, стоящее во вторых скобках правой части, было квадратом двучлена первой степени.

Следовательно, должно выполняться условие .

Это уравнение третьей степени относительно , которое решается по формулам Кардана. Пусть − один из корней этого уравнения. Тогда выражение приводится к виду:

,

где , , а уравнение (2.4) принимает вид

или

.

Решение последнего уравнения сводится к решению двух квадратных уравнений.

П р и м е р. Решить уравнение .

Решение. Введем дополнительный параметр и преобразуем левую часть исходного уравнения:

.

Рассмотрим уравнение . Это уравнение имеет один кратный корень, если , т. е. выполняется равенство

.

При решении этого уравнения получаем, что один из его корней . При этом значении уравнение принимает вид

, т. е. .

Из полученных соотношений находим корни исходного уравнения: , .

Индивидуальные задания по теме

«Комплексные числа»

ВАРИАНТ 1

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество: .

 

ВАРИАНТ 2

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 3

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 4

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 5

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 6

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 7

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 8

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 9

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 10

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 11

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество , .

 

ВАРИАНТ 12

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество , .

 

ВАРИАНТ 13

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 14

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество , .

 

ВАРИАНТ 15

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество , .

 

ВАРИАНТ 16

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 17

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 18

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p])

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 19

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

ВАРИАНТ 20

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа .

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам , .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке (-p; p]) .

6. Доказать тождество .

 

 

Индивидуальные задания по теме «Многочлены»

 

ВАРИАНТ 1

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 2

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 3

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 3

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 3 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 5

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 6

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 7

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 8

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 9

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 10

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 11

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 12

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

 

ВАРИАНТ 13

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 3 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

 

ВАРИАНТ 14

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 15

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

 

ВАРИАНТ 16

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

 

ВАРИАНТ 17

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 18

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

 

ВАРИАНТ 19

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .

 

ВАРИАНТ 20

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

5. Найти корни уравнения .