Наиболее употребляемые числовые множества

Пусть а и b – два числа, причем a < b. Будем пользоваться следующими обозначениями:

1) [a, b] = {x | a £ x £ b} − отрезок (сегмент);

2) (a, b] = {x | a < x £ b} − полуинтервал;

3) [a, b) = {x | a £ x <b} − полуинтервал;

4) (a, b) = {x | a < x < b} − интервал;

5) [a, +¥) = {x | a £ x} − полуинтервал;

6) (a, +¥) = {x | a < x} − интервал;

7) (- ¥, b] = {x | x £ b} − полуинтервал;

8) (- ¥,, b) = {x | x < b} − интервал.

Множество всех вещественных чисел обозначается интервалом (- ¥, + ¥) или { x | - ¥ < x < + ¥}. Промежутки [a, b], (a, b], [a, b), (a, b) называются конечными, a и b − их концами. Остальные промежутки называются бесконечными. Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной прямой. Например, сегмент [ х₁, х₂ ] изображается на координатной прямой отрезком М₁М₂ таким, что точка М₁ имеет координату х₁, а точка М₂ – координату х₂. Изображением множества всех чисел служит вся координатная прямая. Поэтому множество называется числовой прямой, а любое число – точкой этого множества.

Определение. Пусть a – произвольная точка числовой прямой, d − положительное вещественное число. Интервал называется d -окрестностью точки a.

 

Прямоугольная система координат на плоскости

 

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

 

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Ох у.

Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из этой точки перпендикуляры М_х и М_у на оси Ох и О у соответственно.

Определение. Декартовыми прямоугольными координатами (или прямоугольными координатами) х и у точки М называются величины ОМ_х и ОМ_у направленных отрезков и .

Декартовы координаты х и у точки М называются соответственно ее абсциссой и ординатой. То, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М (х, у).

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называются четвертями, квадрантами или координатными углами. Квадранты нумеруются римскими цифрами I, II, III, IV. В зависимости от расположения точек в той или иной четверти определяются и знаки их координат.

 

 

Полярная система координат

Выберем на плоскости некоторую точку О (полюс) и некоторый выходящий из нее луч Ох и укажем единицу масштаба.

 

Определение. Полярными координатами точки М называются двачисла r и j, первое из которых (полярный радиус r) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярный угол j) - угол, на который надо повернуть против часовой стрелки луч Ох до совмещения с лучом ОМ.

При этом предполагается, что точка М не совпадает с полюсом. Для полюса О полярный радиус r равен нулю, а полярный угол j не определен, т. е. ему можно присвоить любое значение.

Точку плоскости М с полярными координатами r и j обозначают символом М (r, j).

Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат (r, j) было взаимно однозначным, обычно считают, что 0 £ r < + ¥, 0 £ j < 2p. Однако в некоторых случаях приходится рассматривать углы, большие 2p, а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Установим связь между полярными и прямоугольными координатами одной и той же точки плоскости. Будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть точка М имеет полярные координаты r и j и прямоугольные координаты х и у. Тогда

. (1.1)

Формулы (1.1) выражают прямоугольные координаты через полярные. Выражения полярных координат точки через прямоугольные следуют из формул (1.1):

. (1.2)

Вторая из этих формул определяет два значения полярного угла, так как j изменяется от 0 до 2p. Из этих двух значений выбирается то, при котором удовлетворяются равенства (1.1), т. е. нужно, используя знаки х и у, определить квадрант, в котором находится точка М. Когда х = 0, tg j не может быть вычислен по формулам (1.2). В этом случае (если у > 0) и (если у < 0).

Для простоты нахождения полярного угла j через прямоугольные координаты можно воспользоваться следующей таблицей: