Основные свойства вещественных чисел

Сложение и умножение вещественных чисел. Для любой пары a и b вещественных чисел определены единственным образом два вещественных числа a+b и a·b, называемые соответственно их суммой и произведением. Для любых вещественных чисел a, b, c выполняются следующие свойства:

1) a + b = b + a (переместительное свойство сложения);

2) a + (b + c) = (a + b) + c (сочетательное свойство сложения);

3) a · b = b · a (переместительное свойство умножения);

4) a · (b ·c) = (a · b) · c (сочетательное свойство умножения);

5) (a + b) · c = a · c + b · c (распределительное свойство);

6) существует единственное число 0 такое, что a + 0 = 0 + a = a для любого числа a;

7) для любого числа a существует число (- a) такое, что a + (- a) = 0;

8) существует единственное число 1 ¹ 0 такое, что для любого числа a имеет место равенство a · 1 = a;

9) для любого числа a ¹ 0 существует такое число a^-1, что a · a^-1 =1, число a^-1 обозначается также символом .

Сравнение вещественных чисел. Для любых двух вещественных чисел a и b установлено одно из соотношений: a = b (a равно b), a > b (a больше b) или a < b. Каковы бы ни были числа a, b, c, выполняются соотношения:

1) если a = b и b = с, то a = с;

2) если a > b и b > с, то a > с;

3) если a > b, то a + c > b + c;

4) если a > 0, b > 0, то a · b > 0.

Непрерывность вещественных чисел. Пусть X и Y ─ два множества, состоящих из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел xÎ X и yÎY выполняется неравенство x ≤ y, то существует хотя бы одно число с такое, что для всех таких x и y выполняются неравенства x ≤ с ≤ y.

Свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел. Однако множество только рациональных чисел таким свойством не обладает.

Теорема. Множество рациональных чисел не является непрерывным.

Доказательство. Доказывать будем «методом от противного». Пусть , .Тогда для , выполняется неравенство , поэтому такое, что . Однако таким числом может быть только число , которое не является рациональным. Пришли к противоречию. Теорема доказана.

Рассмотрим еще несколько свойств вещественных чисел, которые вытекают из сказанного. Для любых вещественных чисел a, b, c, d:

1. Число x = b + (- a) является решением уравнения a + x = b.

Доказательство. .

Определение. Число b + (- a) называется разностью чисел b и a и обозначается b – a.

2. Если b > a, то b – a > 0.

Доказательство. , тогда или .

3. Число x = b · a^-1 является решением уравнения a · x = b, если a ¹ 0.

Доказательство. .

Определение. Число b · a^-1 называется частным чисел b и a и обозначается , или b: a.

4. Если a < b, то – a > - b.

Доказательство. Так как , то и , следовательно, .

5. Если a > b, c > d, то a + c > b + d.

Доказательство. , тогда . , следовательно, . Таким образом, .

6. Если a < b, c > d, то a – c <b – d. Это свойство доказывается с использованием свойств 4 и 5.

7. a – a = 0.

Доказательство. .

8. – a) = a.

Доказательство. .

9. a · 0 = 0.

Доказательство. .

10. (- a)b = - ab.

Доказательство. .

Абсолютная величина числа

 

Определение. Абсолютной величиной ( или модулем) числа х называется само число , если , число (- ), если .

Абсолютная величина числа обозначается . Таким образом, , если , и , если .

Из определения абсолютной величины числа вытекает ряд ее свойств.

1. . Доказательство. Если , то . Если , то , но , т. е. .

2. . Доказательство. Если , то и тогда . Если , то , и тогда .

3. . Доказательство. Если , то , . Отсюда , т. е. . Если , то , откуда . Так как , то , или , откуда , т. е. . Поэтому |. Получаем, что .

Теорема 1. Пусть положительное число. Тогда неравенства и равносильны. ((" e, e > 0: |х| £ e) Û (- e £ х £ e)).

Доказательство. Пусть . Если , то , поэтому , таким образом, . Если , то , следовательно, , откуда . Объединяя неравенства и , получаем, что , .

Пусть . Это означает, что одновременно выполняются неравенства и . Из последнего неравенства следует, что . По определению, есть либо , либо , поэтому .

Теорема 2. Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Пусть , – произвольные числа. По свойству 3 для них выполняются неравенства: , . Поэтому, складывая эти неравенства, получаем . По предыдущей теореме это равносильно неравенству .

Из этой теоремы следует, что абсолютная величина разности двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Теорема 3. Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Для любых чисел и : . По предыдущей теореме . Поэтому .

Аналогично доказывается утверждение о том, что абсолютная величина суммы двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Замечание. Для любых чисел х и у имеют место легко проверяемые соотношения и , если . Эти соотношения предлагается доказать самостоятельно.