Вещественные и комплексные числа

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Множества. Обозначения. Логические символы

Понятие множества является одним из основных в математике. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор» и т. д. – синонимы слова «множество». Множество может содержать конечное (количество студентов в аудитории) или бесконечное (количество точек на прямой) число произвольных объектов.

Определение. Объекты, из которых состоит множество, называютсяего элементами, или точками.

Множества часто обозначают большими буквами, а его элементы – маленькими. Если – элемент множества , то пишут , в противном случае ─ . Если - некоторые элементы множества , то запись означает, что множество состоит из элементов .

Пусть даны два множества и . Если и состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что эти множества совпадают, и пишут . Если в нет элементов, не принадлежащих , то содержится в ( – подмножество множества ). В этом случае пишут , или ( содержит ). Если не содержится в , то пишут .

В математике часто используется пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом Æ. Пустое множество является подмножеством любого множества.

В математических предложениях повторяются отдельные слова и целые выражения. Поэтому для их записи используется логическая символика.

Рассмотрим несколько самых простых и наиболее употребляемых логических символов. Вместо слова «существует» или «найдется» используют символ $ (перевернутая латинская буква Е от английского слова Existence – «существование»), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» ─ символ " (перевернутое латинское А от английского слова Any ─ любой).

Например, запись означает, что «существует элемент из множества …». Запись означает: «для любого найдется , зависящее от и большее 0…».

Для облегчения понимания и чтения утверждений, записанных с помощью логических символов, все, что относится только к каждому из них, заключается в круглые скобки. Например, запись

читается так: «для любого существует такое, что для всех , не равных и удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

 

Вещественные числа и их основные свойства

 

Известно, что множество вещественных чисел состоит из множества рациональных и множества иррациональных чисел.

Определение. Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где p и q – целые числа, причем q ¹ 0.

Определение. Всякое вещественное число, которое не является рациональным, называется иррациональным.

Любое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или периодической бесконечной десятичной дробью (; ). Иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью (; p = 3,14159…).

Абсолютная величина числа

 

Определение. Абсолютной величиной ( или модулем) числа х называется само число , если , число (- ), если .

Абсолютная величина числа обозначается . Таким образом, , если , и , если .

Из определения абсолютной величины числа вытекает ряд ее свойств.

1. . Доказательство. Если , то . Если , то , но , т. е. .

2. . Доказательство. Если , то и тогда . Если , то , и тогда .

3. . Доказательство. Если , то , . Отсюда , т. е. . Если , то , откуда . Так как , то , или , откуда , т. е. . Поэтому |. Получаем, что .

Теорема 1. Пусть положительное число. Тогда неравенства и равносильны. ((" e, e > 0: |х| £ e) Û (- e £ х £ e)).

Доказательство. Пусть . Если , то , поэтому , таким образом, . Если , то , следовательно, , откуда . Объединяя неравенства и , получаем, что , .

Пусть . Это означает, что одновременно выполняются неравенства и . Из последнего неравенства следует, что . По определению, есть либо , либо , поэтому .

Теорема 2. Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Пусть , – произвольные числа. По свойству 3 для них выполняются неравенства: , . Поэтому, складывая эти неравенства, получаем . По предыдущей теореме это равносильно неравенству .

Из этой теоремы следует, что абсолютная величина разности двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Теорема 3. Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Для любых чисел и : . По предыдущей теореме . Поэтому .

Аналогично доказывается утверждение о том, что абсолютная величина суммы двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Замечание. Для любых чисел х и у имеют место легко проверяемые соотношения и , если . Эти соотношения предлагается доказать самостоятельно.

 

Полярная система координат

Выберем на плоскости некоторую точку О (полюс) и некоторый выходящий из нее луч Ох и укажем единицу масштаба.

 

Определение. Полярными координатами точки М называются двачисла r и j, первое из которых (полярный радиус r) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярный угол j) - угол, на который надо повернуть против часовой стрелки луч Ох до совмещения с лучом ОМ.

При этом предполагается, что точка М не совпадает с полюсом. Для полюса О полярный радиус r равен нулю, а полярный угол j не определен, т. е. ему можно присвоить любое значение.

Точку плоскости М с полярными координатами r и j обозначают символом М (r, j).

Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат (r, j) было взаимно однозначным, обычно считают, что 0 £ r < + ¥, 0 £ j < 2p. Однако в некоторых случаях приходится рассматривать углы, большие 2p, а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Установим связь между полярными и прямоугольными координатами одной и той же точки плоскости. Будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть точка М имеет полярные координаты r и j и прямоугольные координаты х и у. Тогда

. (1.1)

Формулы (1.1) выражают прямоугольные координаты через полярные. Выражения полярных координат точки через прямоугольные следуют из формул (1.1):

. (1.2)

Вторая из этих формул определяет два значения полярного угла, так как j изменяется от 0 до 2p. Из этих двух значений выбирается то, при котором удовлетворяются равенства (1.1), т. е. нужно, используя знаки х и у, определить квадрант, в котором находится точка М. Когда х = 0, tg j не может быть вычислен по формулам (1.2). В этом случае (если у > 0) и (если у < 0).

Для простоты нахождения полярного угла j через прямоугольные координаты можно воспользоваться следующей таблицей:

Значение х	Значение у	Значение j
х = 0	у > 0
х = 0	у < 0
х > 0	у < 0
х > 0	у = 0
х > 0	у > 0
х < 0	у < 0
х < 0	у = 0
х < 0	у > 0

Показателем. Формула Муавра

 

Для доказательства следующей теоремы понадобится метод математической индукции.

Метод математической индукции. Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального числа п, начиная с некоторого п ₀, достаточно доказать, что:

а) это утверждение верно для п = п ₀;

б) если данное утверждение справедливо для некоторого натурального числа k ³ n _o, то оно верно также и для следующего натурального числа k+ 1.

П р и м е р. Применяя метод математической индукции, доказать, что справедливо равенство .

Решение: а) проверим, что это утверждение справедливо при : , т. е. 1=1 - верно; б) пусть это утверждение справедливо для некоторого натурального , т. е. . Тогда при имеем: = = = , т. е. утверждение верно и для .

П р и м е р. Применяя метод математической индукции, доказать, что справедливо неравенство .

Решение: а) проверим, что это утверждение справедливо при : - верно; б) пусть это утверждение справедливо для некоторого натурального , т. е. . Тогда при имеем: = , т. е. утверждение верно и для .

Теорема. Произведение комплексных чисел , где , вычисляется по формуле

. (1.7)

Доказательство. Доказательство проведем, используя метод математической индукции. Очевидно, что при утверждение верно. Предположим, что оно верно и при , т. е. . Тогда при имеем:

, т. е. утверждение верно и для .

В частности, при перемножении n равных комплексных чисел с учетом формулы (1.7) получим:

. (1.8)

Если в формуле (1.8) положить , то получается знаменитая формула Муавра:

. (1.9)

Формула (1.8) получена в предположении, что n – целое положительное число. Покажем, что она остается верной при n = 0 и при целом отрицательном n, считая, что для комплексных чисел, как и для вещественных, , .

При n = 0 получаем верное равенство: = . Положим теперь , считая m целым положительным. Тогда = = = = = + = . Таким образом, формула Муавра оказывается верной при всех целых значениях n.

МНОГОЧЛЕНЫ

 

Схема Горнера

 

Теорема. Пусть и . Найдутся многочлен и число такие, что .

Доказательство. Будем искать в виде . Из равенства = при сравнении коэффициентов получаем цепочку равенств: , , ,..., , , откуда последовательно определяются коэффициенты и остаток :

, ,

,…, ,

.

Теорема доказана. Более того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов и остатка . Этот способ носит название схемы Горнера.

П р и м е р. Найти неполное частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен .

Решение. Составим таблицу:

 

Таким образом, неполное частное , остаток 32.

П р и м е р. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

Решение. Разложим числитель по степеням с использованием схемы Горнера:

 

			-1

 

Таким образом, . Следовательно, .

 

Кратные корни

 

Определение. Если , где многочлен уже не делится на , то число к называется кратностью корня с в многочлене , а сам корень с – к -кратным корнем этого многочлена. Если к = 1, то говорят, что корень с простой.

Теорема. Если число с является к -кратным корнем многочлена , то при оно будет (к −1)-кратным корнем первой производной этого многочлена. Если же , то с не будет служить корнем для .

Доказательство. Пусть . В этом случае , . В выражении для первое слагаемое не делится на , следовательно, линейный двучлен не является делителем , т. е. с не является корнем для . Если же , то . Первое слагаемое в этой сумме делитсяна , а второе – на , следовательно, с − (к −1)-кратный корень для . Теорема доказана.

Следствие. Если число с является корнем для , ,…, , но не является корнем для , то в этом случае с − к -кратный корень многочлена .

П р и м е р. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

Решение. При имеем . Найдем : ; . Найдем : ; . Производная 3-го порядка: ; , таким образом, кратность корня 2 для многочлена равна 3.

Алгоритм Евклида

 

Определение. Наибольшим общим делителем (НОД) двух отличных от нуля многочленов и называется многочлен наибольшей степени среди многочленов, делящих оба многочлена и .

Обозначается наибольший общий делитель многочленов и символом . Другими словами, наибольшим общим делителем двух отличных от нуля многочленов и называется такой многочлен , который является их общим делителем и вместе с тем сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Находить наибольший общий делитель двух многочленов можно с помощью алгоритма Евклида, который состоит в следующем. Выполним цепочку делений с остатком: , ; , ; , ; …; , , .

Процесс конечен, т. е. на некотором шагу деление выполнится без остатка, потому что степень каждого последующего остатка меньше степени предыдущего. Остаток и будет наибольшим общим делителем для многочленов .

Наибольший общий делитель двух многочленов определяется с точностью до постоянного множителя. Поэтому, чтобы избежать дробных коэффициентов, можно умножать или сокращать делитель на любое не равное нулю число, причем не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе этого деления.

Это приведет к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь множители нулевой степени, что допускается при отыскании НОД.

П р и м е р. Найти наибольший общий делитель для многочленов и в кольце вещественных чисел.

Решение. Обозначим , . Найдем остаток :

 

x^5- 2 x^4 – 7 x^3 + 7 x^2 + 5 x – 4 x^5 + 2 x^4 – 3 x^3	x^2 + 2 x – 3
x^3 – 4 x^2 + 4 x − 13
− 4 x^4 – 4 x^3 +7x^2 − 4 x^4 – 8 x^3 +12x^2
	4 x^3 – 5x^2 +5x
	4x^3 + 8x^2 – 12x
	− 13x^2 + 17x − 4 − 13x^2– 26x + 39
	43x − 43

С точностью до постоянного множителя остаток равен . Найдем остаток . Для этого многочлен разделим на :

x^2 + 2x − 3 x^2 −x	x − 1
x + 3
	3x – 3 3x – 3
	0

Получили, что , следовательно, для многочленов и наибольшим общим делителем является , т. е. .

Наибольший общий делитель допускает линейное представление в виде , где и − некоторые многочлены. Можно считать при этом, что если степени многочленов и больше нуля, то степень меньше степени , а степень меньше степени . По алгоритму Евклида: , , , …, , . Получили, что . Возвращаясь назад, придем к доказываемому равенству.

П р и м е р. Для многочленов и найти такие многочлены и , чтобы .

Решение. В предыдущем примере нашли, что . Используя обратный ход в алгоритме Евклида, получим . После раскрытия скобок получим , .

П р и м е р. Найти многочлены и , чтобы выполнялось равенство для многочленов и .

Решение. Найдем такое, что :

Получили , , . Далее .

 

То есть . С другой стороны, . Далее .

 

 

Получили, что , т. е. . Учитывая, что , получим , т. е. , .

Взаимно простые многочлены

 

Определение. Два многочлена называются взаимно простыми, если их нормализованный наибольший общий делитель равен 1, т. е. эти многочлены не имеют никаких общих делителей, кроме констант.

Теорема. Для того чтобы многочлены и были взаимно просты, необходимо и достаточно, чтобы существовали многочлены и такие, что .

Доказательство. Если , то всякий общий делитель для и делит единицу и является константой. Если же и взаимно простые, то их нормализованный наибольший общий делитель 1 имеет линейное представление .

Корни квадратного уравнения

 

Пусть дано квадрат