Над многочленами. Корни многочленов. Теорема Безу

 

Определение. Одночленом от переменной с коэффициентом из множества А называется выражение вида , где , − целое неотрицательное число.

Считается, что , поэтому все элементы множества А являются одночленами частного вида.

Определение. Одночлены называются подобными, если показатели степени одинаковы.

Подобные одночлены складываются по правилу , которое называется правилом приведения подобных членов. Для одночленов определяется и действие умножения .

Определение. Многочленом n -й степени от неизвестного х называется сумма целых неотрицательных степеней, не превышающих п, неизвестного х, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида

, (2.1)

причем .

В многочлене порядок слагаемых безразличен, и подобные одночлены можно соединять по правилу приведения подобных членов. Запись (2.1) называется канонической формой многочлена. Иногда удобно записывать многочлены в порядке возрастания показателей. Многочлены обозначаются , , и т. д.

Пусть , причем . Одночлен называется высшим (старшим) членом многочлена , а показатель − степенью многочлена и обозначается . Нулевой многочлен не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен 0. Степень нулевого многочлена считается равной символу .

Определение. Два многочлена называются равными (или тождественно равными), если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т.е. в том и только в том случае, если , .

Иными словами, в равных многочленах равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного х.

Определение. Суммой двух многочленов называется многочлен, получающийся при объединении одночленов, составляющих слагаемые. После объединения необходимо привести подобные члены. Таким образом, = + + … + + .

Определение. Произведением двух многочленов называется многочлен, составленный из произведений всех членов первого сомножителя на все члены второго. После приведения подобных членов получим, что = .

Коэффициент при равен , если считать, что при и при .

Пусть даны два многочлена и , причем и . Тогда произведение содержит ненулевой одночлен, который будет высшим для произведения данных многочленов, так как остальные произведения членов на члены имеют меньшую, чем степень.

Для любых двух многочленов и можно найти такие многочлены и , что

, (2.2)

причем степень меньше степени или же . Многочлены и , удовлетворяющие условию (2.2), определяются однозначно. Многочлен называется частным, а − остатком.

Определение. Пусть даны два ненулевых многочлена и . Если остаток от деления на равен нулю, то многочлен называется делителем многочлена .

Определение. Если − многочлен, , то называется значением многочлена при .

Теорема. Остаток от деления многочлена на линейный многочлен равен значению многочлена при .

Доказательство. Согласно (2) , где − многочлен нулевой степени, т. е. константа. Переходя в этом равенстве к значениям при , получим , откуда . Теорема доказана.

П р и м е р. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

Решение. По доказанной ранее теореме .

Если для полиномов и существует такой полином , что , то говорят, что полином делится на полином . Рассмотрим вопрос о делимости на линейный двучлен , где .

Теорема (Безу). Для того чтобы полином делился на , необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. А. Необходимость. Пусть делится на , т. е. . Тогда . Б. Достаточность. Пусть . Тогда в равенстве будет , т. е. . Теорема доказана.

Определение. Число с называется корнем полинома , если .

С использованием этого определения теорема Безу может быть сформулирована следующим образом: для того чтобы полином делился на двучлен , необходимо и достаточно, чтобы с было корнем . Таким образом, отыскание корней многочлена равносильно отысканию его линейных делителей.

П р и м е р. Является ли линейный многочлен делителем многочлена ?

Решение. Найдем : , следовательно, не является делителем многочлена .

 

Схема Горнера

 

Теорема. Пусть и . Найдутся многочлен и число такие, что .

Доказательство. Будем искать в виде . Из равенства = при сравнении коэффициентов получаем цепочку равенств: , , ,..., , , откуда последовательно определяются коэффициенты и остаток :

, ,

,…, ,

.

Теорема доказана. Более того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов и остатка . Этот способ носит название схемы Горнера.

П р и м е р. Найти неполное частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен .

Решение. Составим таблицу:

 

Таким образом, неполное частное , остаток 32.

П р и м е р. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

Решение. Разложим числитель по степеням с использованием схемы Горнера:

 

			-1

 

Таким образом, . Следовательно, .

 

Кратные корни

 

Определение. Если , где многочлен уже не делится на , то число к называется кратностью корня с в многочлене , а сам корень с – к -кратным корнем этого многочлена. Если к = 1, то говорят, что корень с простой.

Теорема. Если число с является к -кратным корнем многочлена , то при оно будет (к −1)-кратным корнем первой производной этого многочлена. Если же , то с не будет служить корнем для .

Доказательство. Пусть . В этом случае , . В выражении для первое слагаемое не делится на , следовательно, линейный двучлен не является делителем , т. е. с не является корнем для . Если же , то . Первое слагаемое в этой сумме делитсяна , а второе – на , следовательно, с − (к −1)-кратный корень для . Теорема доказана.

Следствие. Если число с является корнем для , ,…, , но не является корнем для , то в этом случае с − к -кратный корень многочлена .

П р и м е р. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

Решение. При имеем . Найдем : ; . Найдем : ; . Производная 3-го порядка: ; , таким образом, кратность корня 2 для многочлена равна 3.