Представление в компьютере вещественных чисел.

Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.

При их написании в программе вместо запятой принято писать точку. Так, например, число 5 — целое, а числа 5.1 и 5.0 — вещественные.

Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть, как очень маленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 можно в этой форме представить так:

1.25= 1.25×10⁰ = 0.125×10¹ = 0.0125×10² =..., или: 12.5×10^–1 = 125.0×10^–2 = 1250.0×10^–3.

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M × q ^p, где M называется мантиссой числа, а p — порядком числа. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.

 

Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует вывод:

Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой после запятой отлична от нуля: M лежит в диапазоне [0.1, 1).

 

Такое, наиболее точное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q- ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание обозначают в десятичной системе.

 

Примеры нормализованного представления чисел:

Десятичная система Двоичная система

753.15₁₀ = 0.75315×10³; –101.01₂ = –0.10101×2¹¹ (порядок 11₂ = 3₁₀)

–0.000034₁₀ = –0.34×10^-4; –0.000011₂ = 0.11×2^-100 (порядок –100₂ = – 4₁₀)

 

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи — с использованием четырех, шести, восьми или десяти байтов.

 

В качестве примера приведем характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами:

 

Форматы вещественных чисел	Размер в байтах	Диапазон абсолютных значений	Количество значащих десятичных цифр
Одинарный		10^–45 … 10^38	7 или 8
Вещественный		10^–39 … 10^38	11 или 12
Двойной		10^–324 … 10^308	15 или 16
Расширенный		10^–4932 … 10^4932	19 или 20

 

Из этой таблицы видно, что форма представления чисел с плавающей точкой позволяет записывать числа с высокой точностью и из весьма широкого диапазона.

При хранении числа в компьютере с плавающей точкой отводятся отдельные разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

· Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. · Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Выполнение арифметических действий

Над нормализованными числами.

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ процессора компьютера.

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков чисел.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в одинаковых разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.

(В случае необходимости) полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111•2^–1 и 0.11011•2¹⁰. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа с меньшим порядком сдвигается на три разряда вправо, т.е.: 0.10111•2^–1 = 0.00010111•2¹⁰

0.1101100•2¹⁰

+ 0.0001011•2¹⁰

¾¾¾¾¾¾

= 0.1110111•2¹⁰

Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101•2¹⁰ и 0.11101•2¹. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо: 0.11101•2¹ = 0.011101•2¹⁰

0.101010•2¹⁰

- 0.011101•2¹⁰

¾¾¾¾¾¾

= 0.001101•2¹⁰

Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка числа на две единицы: 0.001101•2¹⁰ = 0.1101•2⁰.

Умножение

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101•2¹⁰¹) • (0.1001•2¹¹) = (0.11101•0.1001) • 2^(101+11) = 0.100000101•2¹⁰⁰⁰.

0.11101•2¹⁰¹

* 0.1001 •2¹¹

¾¾¾¾¾¾

11101

+ 11101

¾¾¾¾¾¾¾¾¾

= 0.100000101•2¹⁰⁰⁰

Деление

При делении двухнормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

0.1111•2¹⁰⁰: 0.101•2¹¹ = (0.1111: 0.101) • 2^(100–11) = 1.1•2¹ = 0.11•2¹⁰,

где мантиссы делятся друг на друга методом – в столбик:

0.1111 | 0.101

- 0.101 1.1

0.0101

- 0.0101

 

Вывод: Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет электронную схему арифметико-логического устройства процессора в компьютере.

 

Логические основы компьютеров

Что такое алгебра логики?

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания (или логические выражения).

Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого алгебра логики названа булевой алгеброй.

Логическое высказывание (выражение) — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Так, например, предложение “ 6 — четное число ” следует считать логическим высказыванием, так как оно истинно.

Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится логическим высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с точки зрения — является ли оно истинным или ложным.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не”, “и”, “или”, “если..., то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, т.е. без связок, называются элементарными.

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена переменных. Пусть через А обозначено элементарное высказывание “ Тимур поедет летом на море ”, а через В — высказывание “ Тимур летом отправится в горы ”. Тогда составное высказывание “ Тимур летом побывает и на море, и в горах ” можно кратко записать как А и В. Здесь “ и ” — логическая связка, А, В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — “ истина ” или “ ложь ”. В компьютере значения “истина” и “ложь” обозначаются как “1” и “0” соответственно.

Каждая логическая связка рассматривается в булевой алгебре как логическая операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

1. Операция, выражаемая словом “ не ”, называется отрицанием и обычно обозначается знаком ù иличертой над высказыванием. Высказывание ­ ­ истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Например, “ Луна — спутник Земли ” (А); “ Луна — не спутник Земли ” ().

2. Операция, выражаемая связкой “ и ”, называется конъюнкцией или логическим умножением и обозначается словом “and”, точкой " • " или знаками Ù и &.

Правило: Высказывание А•В истинн о тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны, иначе оно ложно. Например, высказывание

“10 делится на 2 и 5 больше 3” истинно, а высказывания

“10 делится на 2 и 5 не больше 3”, ложны.

3. Операция, выражаемая связкой “ или ” называется дизъюнкцией или логическим сложением и обозначается словом “OR”, знаком U, Ú (или плюсом "+ ").

Правило: Высказывание А U В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны, иначе оно истинно. Например, высказывание

“10 не делится на 2 или 5 не больше 3” ложно,

а все высказывания: “10 делится на 2 или 5 больше 3”,
“10 делится на 2 или 5 не больше 3” или “10 не делится на 2 или 5 больше 3”

- все будут истинны.

4. Операция, выражаемая связками вида “ если..., то ”, “ из... следует ” или “ ... влечет... ”, называется импликацией и обозначается знаком à.

Правило: Высказывание А à В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В — ложно.

Каким образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: “ данный четырёхугольник — квадрат ” (А) и “ около данного четырёхугольника можно описать окружность ” (В). Рассмотрим составное высказывание А à В, понимаемое как “ если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность ”.

Есть три варианта, когда высказывание А àВ истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка “ если..., то ” описывает причинно - следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность.

5. Операция, выражаемая связками “ тогда и только тогда ”, " необходимо и достаточно ”, “... равносильно...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ~ или º.

Правило: Высказывание А ~ В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Порядок выполнения логических операций в логических выражениях задается приоритетом операций и круглыми скобками. В выражениях без скобок сначала выполняется операция отрицания (“ не ”), затем конъюнкция (“ и ”), после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь — импликация, затем эквиваленция.