Свойства ограниченных последовательностей

Билет 1

Величины: постоянные и переменные. Числа: вещественные, рациональные, иррациональные. Область изменения переменной. Промежутки. Абсолютные значения. Неравенства. Окрестность точки.

Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения

Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.

Одни и те же величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными.

Различие постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике. В элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли.

Действительными или вещественными числами называются все положительные числа, отрицательные числа и нуль.

Множество действительных чисел объединяет в себе множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел

Рациональное число (лат. ratio - отношение, деление, дробь) - это число которое может быть представлено в виде дроби , где числитель - целое число, а знаменатель - натуральное. Множество рациональных чисел обозначается (от англ. quotient "частное") и может быть записано в виде: . Числа вида - называют еще обыкновенными дробями. Если , то дробь называется правильной, если , то - неправильной.

Иррациональным числом называется действительное число, которое нельзя представить в виде рациональной дроби .

Множество всех значений, которые может принимать данная переменная, называется областью изменения этой переменной. Это множество и задаёт переменную, то есть формально и является ей.

Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой — множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение можно записать так: — промежуток, если

 

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа . Обозначается: .

В случае вещественного абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа , также иногда называемый абсолютной величиной^[1]. Он определяется по формуле:

Неравенство в математике — утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (один из объектов меньше или не больше другого), или о том, что два объекта не одинаковы (отрицание равенства). В элементарной математике изучают числовые неравенства, в общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

Пусть произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от менее чем на , то есть .

 

Билет 2

Функция. Область определения. Способы задания. Классификация функций. Обратная функция.

Функция (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества .

При этом говорят, что функция задана на множестве , или что отображает в .

Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент находится в функциональной зависимости от элемента . При этом переменная называется аргументом функции или независимой переменной, множество называется областью задания или областью определения функции, а элемент , соответствующий конкретному элементу — частным значением функции в точке . Множество всех возможных частных значений функции называется её областью значений или областью изменения.

Функция есть множество упорядоченных пар , которое удовлетворяет следующему условию: для любого^[3] существует единственный элемент такой, что .

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов , где

· множество называется о́бластьюопределе́ния;

· множество называется о́бластьюзначе́ний;

· множество упорядоченных пар или, что то же самое, график функции.

 

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [ x ] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [ x ] = r. Функция E(x) = [ x ] постоянна на промежутке [ r; r +1) и на нем [ x ] = r.

Пример 2: функция y = { x } — дробная часть числа. Точнее y = { x } = x - [ x ], где [ x ] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q (r = [ x ]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим { x } = r + q - r = q

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Характеристики функций (классификация):

Функция называется нечётной, если справедливо равенство

Функция называется чётной, если справедливо равенство

График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат.

Пусть дана функция Тогда

функция называется возраста́ющей на , если

.

функция называется стро́говозраста́ющей на , если

.

функция называется убыва́ющей на , если

.

функция называется стро́гоубыва́ющей на , если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Функция называется ограниченной сверху на множестве , если существует такое число , что для любого .

Замечание. Без ущерба для смысла определения нестрогое неравенство можно заменить на строгое.

Ограничивающее число называется верхней границей или мажорантой функции.

 

Обра́тнаяфу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение .

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

для всех

для всех

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она биективна.

Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция монотонна. Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .

 

Билет 3

Метод математической индукции. Неравенство Бернулли. Бином Ньютона.

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.

Метод математической индукции состоит в следующем:

Предложение (утверждение) P (n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:

1. P (1) является истинным предложением (утверждением);
2. P (n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P (n + 1) - истинное предложение (утверждение).

Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:

1. Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P (1).
2. Этап доказательства: предполагается, что предложение P (n) истинно, и доказывается истинность предложения P (n + 1) (n увеличено на единицу).

 

Нера́венство Берну́лли утверждает: если , то

для всех

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n +1:

,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает, что при и :

если , то

если , то

при этом равенство достигается в двух случаях:

 

Бино́мНью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где — биномиальные коэффициенты, — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд.

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

,

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

.

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Билет 4

Множества. Алгебра множеств. Конечное, бесконечное и счетное множества. Ограниченные и неограниченные множества. Наибольшая нижняя и наименьшая верхняя грани множества.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

§ А={1,2,3,5,7} — множество чисел

§ Х={x₁,x₂,...,x_n} — множество некоторых элементов x₁,x₂,...,x_n

§ N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел

§ Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально:множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множествавсех натуральных чисел обозначается символом (произносится: "алеф-нуль").

Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. В противном случае множество называется бесконечным.

Алгебра множеств

 

Объединением (суммой) двух множеств A и B называется множество (его принято обозначать ) состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств - либо A, либо B.

Пересечением (произведением) двух множеств A и B называется множество (его принято обозначать ) состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств A и B.

Разностью двух множеств A и B называется множество (его обычно обозначают A\B или A-B), состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

 

Симметрической разностью множеств A и B называется множество обозначаемое через A B и определяемое следующим образом:

 

 

Билет 5

Понятие числовой последовательности. Классификация последовательностей

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :

Элемент называется первым членом последовательности, - вторым,..., - -ым или общим членом последовательности.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого ,

Или,

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого ,

Билет 6

Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.

Число называется пределом последовательности и обозначается ,

 

Число называется пределом последовательности , если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство :

Если функция в точке имеет предел, то этот предел единственный

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе - расходящейся.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что

Билет 7

Точная верхняя и нижняя границы последовательностей. Теорема Вейерштрасса

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наименьший элемент , который равен или больше всех элементов множества . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .

Более формально:

— множество верхних граней , то есть элементов , равных или больших всех элементов

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наибольший элемент , который равен или меньше всех элементов множества . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается .

Мажоранта или верхняя грань (граница) числового множества — число , такое что .
Миноранта или нижняя грань (граница) числового множества — число , такое что .

 

Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).

Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся.

Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

 

Билет 8

Определение бесконечно большой и бесконечно малой последовательности

 

Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:

Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:

Билет 10

Неопределенные выражения

Неопределенные выражения (неопределенности). Иногда при формальной подстановке числа а вместо аргумента х под знак функции у = f (x) и дальнейшем проведении алгебраических действий над получившимся выражением или при переходе к пределу получаются выражения типа:
(*)

Эти выражения бессмысленны с алгебраической точки зрения. Иногда, исходя из понятий математического анализа, таким выражениям удается придать определенный удобный смысл.

Чаще всего, в случае непрерывности функции у = f (x) в некоторой окрестности точки х = а, исключая саму эту точку, под f (a) понимают .

Более того, неопределенные выражения часто возникают при вычислении пределов функций, построении графиков и т.д. В этих случаях имеется ряд приемов «раскрытия неопределенностей».

Иногда неопределенными называют выражения, предел которых не может быть найден путем непосредственного применения теорем о пределе.

Основными инструментами для раскрытия неопределённостей служат: формула Тейлора,первый замечательный предел, второй замечательный предел, правило Лопиталя и т.п.

 

Билет 11

Определение последовательности. ТеоремаБольцано-Вейерштрасса

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :

Элемент называется первым членом последовательности, - вторым,..., - -ым или общим членом последовательности.

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член последовательности и известно, что , то есть и так далее до нужного члена.

 

 

Теорема Больцано-Вейерштрасса (или лемм