Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические ф-ции

Интегралы вида , где рациональная функция от u и v.

Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью подстановки , которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии

Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому чаще применяются другие подстановки.

2. Подынтегральная функция удовлетворяет условию

(1)

или условию

. (2)

Тогда можно использовать подстановку , или , соответственно. Смотри пример 2.

 

3. Подынтегральная функция удовлетворяет условию . Это условие выполняется в частности для функций, содержащих только четные степени и В этом случае часто применяют замену переменной , где или , где .При этом, так как или ,то . Функции и выражаются через t с помощью тригонометрических формул и . Смотри пример 3.

4. Вычисление интегралов вида , где m и n? целые числа.

В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:

А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку . Сравни с 1. Смотри пример 4.

Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени: , и . Смотри пример 5.

 

В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или . Смотри пример 6.

Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества. Смотри пример 7.

Примечание. В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.

 

5. При вычислении интегралов вида или где m - натуральное число, используют тригонометрические формулы или, соответственно, . Смотри пример 8.

6. Интегралы вида , , .

Для вычисления интегралов указанного вида применяют тригонометрические формулы:

 

Тригонометрические подстановки

В данной секции мы рассмотрим вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня .

Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

Выполнив замену , мы получим один из следующих 3 интегралов в зависимости от значений коэффициентов a, b и с:

1. 

 

1. 

 

1. 

Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.

 

1. Интегралы вида

Тригонометрическая подстановка:

2. Интегралы вида

Тригонометрическая подстановка:

Гиперболическая подстановка:

3. Интегралы вида

Тригонометрическая подстановка:

Неберущиеся интегралы

 

 

 

Определенный интеграл

1.Определенные интегралы (интеграл Римана).

Пусть действительная функция f (x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [ a, b ]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками

a = x ₀< x ₁< x ₂<... < x_n = b.

Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке и составим сумму (интегральная сумма) .

Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: , то функция f (x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [ a, b ]. Предел этой суммы

называется определенным интегралом от f (x) по интервалу [ a, b ] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа существует такое число , что при любом разбиении интервала [ a, b ] на частичные интервалы, длины которых меньше .

и при любом выборе промежуточных точек выполняется неравенство

Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.

 

2. Суммы Дарбу и их свойства.

 

Пусть функция , определённая на отрезке , ограничена на этом отрезке и пусть - разбиение отрезка , (i=1,n). Обозначим

, ,

, . (5)

Назовём и соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для функции при заданном разбиении отрезка . Заметим, что эти суммы не зависят от выборки . Рассмотрим свойства сумм Дарбу.

С в о й с т в о 1. Для любой выборки справедливы неравенства

. (6)

○ Так как для любого , выполняются неравенства

то

Складывая эти неравенства, получаем

. (7)

Согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы утверждения (7) и (6) равносильны. ●

С в о й с т в о 2. Спараведливы равенства

, (8)

. (9)

С в о й с т в о 3. Если разбиение - продолжение разбиения , то

(10)

 

т.е. при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

С в о й с т в о 4. Для любых разбиений и справедливо неравенство

 

С в о й с т в о 5. Существуют числа

,

Удовлетворяющие для любых разбиений и отрезка условию

(12)

Эти числа называют соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции на отрезке .

 

3. Условия существования определенного интеграла

Определение. Функция , для которой на отрезке [ a; b ] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке [ a; b ], то она интегрируема на этом отрезке.

Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости.

Теорема 2. Если функция ограничена на [ a; b ] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.