Производная и дифференциал сложной функции

Пусть функция y = f (x) задана в некоторой окрестности U = U (x ₀) точки x ₀, а функция z = g (y) - в некоторой окрестности V = V (y ₀) точки y ₀ = f (x ₀), причем f (U) и, следовательно, определена сложная функция

F (x) = g (f (x)).

Теорема 5. Если функция y = f (x) имеет производную в точке x ₀, а функция z = g (y) имеет производную в точке y ₀ = f (x ₀), то сложная функция z = F (x) = g (f (x)) также имеет в точке x ₀ производную, причем

F' (x 0) = g' (y 0) f' (x 0),

(10.28)

или, опуская значение аргумента,

z'x = z'yy'x.

(10.29)

Пусть, как всегда, x = x - x ₀, y = y - y ₀, и z = g (y) - g (y ₀); тогда в силу дифференцируемости функции g в точке y ₀ будем иметь (см. y = f' (x ₀) x + o ( x) x. X 0,)

z = g' (y 0) y + ( y) y, ( y) = 0.

(10.30)

Поскольку функция y = f (x) непрерывна при x = x ₀, то y = 0 и, следовательно, в силу теоремы о пределе сложной функции (см. (y) = z ₀,) имеем

( y) = 0.

(10.31)

Поделив обе части первого равенства (10.30) на x 0, получим

z / x = g' (y 0)( y / x) + ( y)( y / x).

(10.32)

В силу равенств (10.31) и y / x) = f' (x ₀) предел правой части равенства (10.32) при x 0 существует и равен g' (y ₀) f' (y ₀), следовательно, существует и предел левой части, т. е. существует

F' (x ₀) = ( z / x),

причем

F' (x ₀) = g' (y ₀) f' (x ₀).

Следствие (инвариантность формы дифференциала).

dz = F' (x 0) dx = g' (y 0) dy,

(10.33)

или, короче,

dz = z'_xdx = z'_ydy.

Эта формула показывает, что формально записи дифференциала сложной функции посредством независимой переменной x и посредством зависимой переменной y имеют один и тот же вид, но следует иметь в виду, что здесь dx = x - приращение независимой переменной x, a dy - дифференциал функции y = f (x), т. е. главная линейная часть приращения y зависимой переменной ("главная" в том смысле, что разность y - dy является при △ x ® 0 бесконечно малой более высокого порядка, чем само x).
Докажем формулу (10.33):

dz = dF (x 0)	=	F' (x 0) dx	=	g' (y 0) f' (x 0) dx	=	g' (y 0) dy.
	(10.13)		(10.28)		(10.13)

Пример. Вычислим производную функции y = x^a, x > 0, a R, c помощью формулы (10.28). Для этого представим функцию y = x^a как композицию функций y = e^u и u = ln x. Заметив, что dy / du = e^u, du / dx = a/x, получим

(x^a) ' = (x^a ln x) ' = (e^u) '_uu'_x = e^ua/x = e^a ln xa/x = x^aa/x = ax^a -1,

т. е.

(x^a) ' = ax^a -1.

Производная и дифференциал неявно заданной функции

Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .

Если функция описывается уравнением y = f (x), где переменная y находится в левой части, а правая часть зависит только от аргумента x, то говорят, что функция задана в явном виде.

- задана в явном виде.

- задана неявным образом.

для нахождения производной y' (x) неявно заданной функции нет необходимости преобразовывать ее в явную форму. Для этого, зная уравнение F (x, y) = 0, достаточно выполнить следующие действия:

Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной x, предполагая,
что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции. При этом производная нуля (в правой части) также будет равна нулю.

Замечание: Если правая часть отлична от нуля, т.е. неявное уравнение имеет вид

то дифференцируем левую и правую части уравнения.

 

Решить полученное уравнение относительно производной y' (x).

Дифференцирование функций, заданных неявно

Если функция задана уравнением у = f (x), разрешённым относительно y, то функция задана

в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F (х; у) = 0,

не разрешённого относительно у.

Всякую явно заданную функцию у = f (x) можно записать как неявно заданную уравнением f

(x) - у = 0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у +

2х + соs у - 1 = 0 или 2 y - х + у = 0).

Если неявная функция задана уравнением F (х; у) = 0, то для нахождения производной от у

по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно

продиффиринцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х и

полученное затем уравнение разрешить относительно у′.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример. Найти производную функции у, заданную уравнением

Решение: функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство . Из

полученного соотношения 3 + 3⋅ ⋅у′ - 3 (1⋅у + х⋅у′) = 0 следует, что у′ - ху′ = у – , т.е.