Тригонометрические и гиперболические функции

Тригонометрические фу́нкции — математические функции от угла

функция	Обозначение	Соотношение
Си́нус
Ко́синус
Та́нгенс	или
Кота́нгенс	или
Се́канс
Косе́канс	или
Основные тригонометрические функции

Тригонометрические и гиперболические функции в пространстве Y

В плоскости комплексного переменного z тригонометрические функции определяются через функции sin(z), cos(z), которые выражены формулами

, которые являются следствием формулы Эйлера. Мнимая единица j отличается от мнимой единицы i только обозначением. В пространстве Y эта единица фиксирует третье координатное направление. Алгебра этой единицы совпадает с алгеброй мнимой единицы i. Поэтому в силе остаются и формулы

Далее формулы распространяются в пространство .

При переходе от к получаем гиперболические функции в пространстве Y.

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические

Особенность этих формул заключается в том, что они представляют функции от двух комплексных переменных z, ,в силу комплексности переменной .Это позволяет получить ряд зависимостей. Например

. Аналогичные преобразования дают

 

Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры- теорема Гаусса

Алгебраическим многочленом степени и называется сумма целых неотрицательных степеней переменной х, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида

Для сокращенной записи многочленов употребляют обозначения , И т. п.

Два многочлена И Считают равными и пишут В том и

Только в том случае, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

Теорема 8.1. Для любых двух многочленов И Можно найти такие многочлены И , что

(8.1)

Причем степень Меньше степени Или же . Многочлены

И Определяются однозначно.

Многочлен Называется частным от деления На , а -

Остатком от этого деления.

Замечание. Формулу (8.1) можно записать так:

Если остаток от деления На Равен нулю, то многочлен Называется делителем многочлена , в этом случае говорят, что Делится на (или нацело делится на ).

Многочлен Тогда и только тогда является делителем многочлена

Когда существует многочлен Удовлетворяющий равенству

Многочлен Называется общим делителем для многочленов И

, если он является делителем каждого из этих многочленов.

Два многочлена называются взаимно простыми, если они не имеют других общих делителей, кроме многочленов нулевой степени (т. е. постоянных).

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов И называется общий делитель Который делится на любой другой общий де

Литель этих многочленов. Наибольший общий делитель многочленов И

Обозначается так:

Наибольший общий делитель многочленов И Можно найти с по

Мощью алгоритма Евклида. Если

(8.2)

То

Замечание. Наибольший общий делитель многочленов определен с точностью до постоянного множителя: если — наибольший общий делитель многочленов И То , где - любое 'число, отличное от

Нуля, также является их наибольшим общим делителем

Формулировка теоремы Безу

Теорема

Остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Следствия из теоремы Безу

1. Число - корень многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на двучлен .

Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения .

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).

3. Пусть - целый корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого число делится на .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если , то заданный многочлен можно представить в виде:

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена , степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

 

Следствие 1. Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами можно представить в виде произведения линейных двучленов:

 

 

(B.13)

 

где — корни многочлена кратности соответственно, причем . Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

 

Следствие 2. Если многочлены и , степени которых не превосходят , имеют равные значения более чем при п различных значениях переменной , то эти многочлены равны: .

 

В самом деле, по условию многочлен имеет более, чем корней, хотя его степень меньше или равна , что противоречит следствию 1 из основной теоремы алгебры. Следовательно, это многочлен нулевой степени . Так как он имеет корни, то . Следовательно, , то есть .

 

Это следствие позволяет рассматривать многочлен не как формальное выражение вида (В.8), а как функцию переменной , поскольку равенство многочленов , определенное выше как равенство коэффициентов при одинаковых степенях , совпадает (в силу следствия 2) с понятием равенства двух функций при всех значениях .

 

Рассмотрим многочлен с действительными коэффициентами . Разложение (В. 13) для этого многочлена имеет вид

 

 

где — корни многочлена (могут быть комплексные).

 

Если комплексное число является корнем этого многочлена, то есть

 

 

то сопряженное число также является его корнем, т.е. . Это вытекает из равенства . Поскольку числа и не являются корнями многочлена, то он делится (без остатка) на произведение

 

 

Так как сумма и произведение сопряженных чисел являются действительными числами, то правая часть последнего равенства есть квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Причем, если , то дискриминант этого квадратного трехчлена отрицательный.

 

Следствие 3. Если комплексное (но не действительное) число — корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное число является его корнем той же кратности.

 

В самом деле, если — корень кратности , то для него выполняются условия (В.12)

 

Из условий

 

следует, что — корень той же кратности .

Следствие 4. Всякий многочлен с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов (с отрицательными дискриминантами):

 

 

(B.14)

 

где — действительные корни кратности , причем .

 

Следствие 5. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень.

 

Многочлен четной степени с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней (при этом в разложении (В. 14) отсутствуют линейные двучлены ).