Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю. Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя. Неопределенности типа Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени. Неопределенности типа Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .     Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа или . Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности. · Если и , то ; · Если и , то аналогично .     Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению, опубликованной в 1696 (!) году французским математиком ГийомомЛопиталем (1661- 1704). Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

Формула Тейлора. Теорема Тейлора. Ряд Маклорена

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

 

Формула Тейлора

 

 

, где R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора.

 

Остаточный член формулы Тейлора

 

В форме Лагранжа:

 

 

В форме Коши:

 

Формулировка теоремы

Точная формулировка большинства базовых версий теоремы такова.

Теорема Тейлора ^[1] Пусть k ≥ 1 является целым, и пусть функция f: R → R является k раз дифференцируемой в точке a ∈ R. Тогда существует функция h_k: R → R такая, что

Многочлен, возникающий в теореме Тейлора, является многочленом Тейлора k -го порядка

функции f в точке a.

Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена

который является ошибкой при нахождении приближения функции f с помощью многочленов Тейлора. Используя «O» большое и «o» малое теорему Тейлора можно сформулировать так

 

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

·

·

·

·

·

46. ряды Маклорена для элементарных функций

Исследование функций. Условие постоянства функции. Признак монотонности функции

Исследование функции и построение ее графика

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения и область допустимых значений функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения с осями.

4. Асимптоты функции.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7. Сводная таблица.

Постоянство ф-ции.

Теорема. Пусть определена и непрерывна на промежутке Для того, чтобы она была равна константе необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Но тогда .

Достаточность. Пусть . Возьмем две любые точки . Тогда по формуле Лагранжа

т.е. . Так как это верно для любых и то отсюда следует, что

Признак монотонности функции

Промежутки монотонности функции совпадают с промежутками постоянного знака ее производной.

Доказательство. Будем понимать заданную функцию у = f(x) как закон движения материальной точки Р по оси у в зависимости от времени х. Пусть на некотором промежутке функция f возрастает. На языке механики это означает, что материальная точка Р движется по оси у в положительномнаправлении. Так как знак скорости совпадает с направлением движения, то скорость точки, т. е. производная функции положительна. Обратно: если производная, т. е. скорость точки, положительна, то точка движется по оси у в положительном направлении, следовательно, функция возрастает. Аналогично рассматривается случай убывания функции.

Замечание. Если точка движется в одном направлении, то ее скорость сохраняет постоянный знак, однако в отдельные моменты времени точка может остановиться (ее скорость обратится в нуль), а затем продолжать двигаться в том же направлении. Функция, описывающая такое движение точки, будет монотонной. Значит, если f(x) возрастает,то f'(x) > 0. Верно и обрат­ное. Однако если f'(x) обращается в нуль не в отдельных точках, а на целом промежутке, то на этом промежутке функция будет постоянной. Если включить промежутки постоянства функции в промежутки ее монотонности (как иногда говорят, не требовать строгой монотонности функции), то можно коротко результат исследования записать так: