Комплексные числа. Сложение и вычитание, умножение и деление кч. Возведение в степень и извлечение корня. 
";


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Комплексные числа. Сложение и вычитание, умножение и деление кч. Возведение в степень и извлечение корня.



Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и bдействительные числа, а iмнимая единица, т.e. i 2 = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число (a+ c) + (b+ d) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

(ac – bd) + (ad + bc) i. Это определение вытекает из двух требований:

 

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = 1.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Возведение в степень:

,

где n – целое положительное число.

(Отметим, что перемножать, делить и возводить в степень часто удобнее, когда комплексное число задается в тригонометрической или показательной форме)

Извлечение корня из комплексного числа

Определение

Корнем-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , то есть

Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.

Показательная функция. Формулы Эйлера. Логарифм комплексного числа

Показательная функция

Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.

· Область определения показательной функции: D (y)= Rмножество всех действительных чисел.

· Область значений показательной функции: E (y)= R+ - множество всех положительных чисел.

· Показательная функция y=ax возрастает при a>1.

· Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

· а0=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

· а1 Любое число в первой степени равно самому себе.

· ax∙ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

· ax:ay=ax- y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

· (ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

· (a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

· (a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

· а=1/ax

· (a/b)-x=(b/a)x.

· Формула Эйлера

 

Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями и на множестве комплексных чисел:

  . (1)  

Доказательство формулы Эйлера основано на представлении этих функций в виде степенных рядов и при первом чтении может быть опущено без ущерба для понимания последующего изложения.
Заметим, что и представляют собой соответственно вещественную и мнимую части экспоненциальной функции :

  . (2)  

Выполним в формуле Эйлера замену :

  (3)  

Выполнив почленное сложение и вычитание выражений в обеих частях равенств (1) и (3), получим

 

 


что влечет

  . (4)  

Таким образом, тригонометрические функции и представлены в виде линейных комбинаций экспоненциальных функций и .
Тангенс аргумента φ выражается через :

Логарифм комплексного числа



Поделиться:


Читайте также:




Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; просмотров: 1117; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.229.50.161 (0.012 с.)