Комплексные числа. Сложение и вычитание, умножение и деление кч. Возведение в степень и извлечение корня.

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i ² = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число (a+ c) + (b+ d) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

(ac – bd) + (ad + bc) i. Это определение вытекает из двух требований:

 

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i ² = – 1.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Возведение в степень:

,

где n – целое положительное число.

(Отметим, что перемножать, делить и возводить в степень часто удобнее, когда комплексное число задается в тригонометрической или показательной форме)

Извлечение корня из комплексного числа

Определение

Корнем-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , то есть

Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.

Показательная функция. Формулы Эйлера. Логарифм комплексного числа

Показательная функция

Функцию вида y=a^x, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.

· Область определения показательной функции: D (y)= R – множество всех действительных чисел.

· Область значений показательной функции: E (y)= R₊ - множество всех положительных чисел.

· Показательная функция y=a^x возрастает при a>1.

· Показательная функция y=a^x убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

· а⁰=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

· а¹=а Любое число в первой степени равно самому себе.

· a^x∙a^y=a^x+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

· a^x:a^y=a^{x- y} При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

· (a^x)^y=a^xy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

· (a∙b)^x=a^x∙b^y При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

· (a/b)^x=a^x/b^y При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

· а^-х=1/a^x

· (a/b)^-x=(b/a)^x.

· Формула Эйлера

Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями и на множестве комплексных чисел:   . (1)   Доказательство формулы Эйлера основано на представлении этих функций в виде степенных рядов и при первом чтении может быть опущено без ущерба для понимания последующего изложения. Заметим, что и представляют собой соответственно вещественную и мнимую части экспоненциальной функции :   . (2)   Выполним в формуле Эйлера замену :   (3)   Выполнив почленное сложение и вычитание выражений в обеих частях равенств (1) и (3), получим     что влечет   . (4)   Таким образом, тригонометрические функции и представлены в виде линейных комбинаций экспоненциальных функций и . Тангенс аргумента φ выражается через :

Логарифм комплексного числа