Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей

1° Сумма б.м. последовательностей есть б.м.п.

2° Произведение ограниченной последовательности и б.м. есть б.м.п.

3° Если -б.м.п., то - ограниченная последовательность.

4° Произведение б.м.п. есть последовательность б.м.

5° Если -б.м.п. и , то , т.е.

6° Если -б.м.п. и , то последовательность - б.б.п.

7° Если -б.б.п., то и последовательность - б.м.п.

 

Билет 10

Неопределенные выражения

Неопределенные выражения (неопределенности). Иногда при формальной подстановке числа а вместо аргумента х под знак функции у = f (x) и дальнейшем проведении алгебраических действий над получившимся выражением или при переходе к пределу получаются выражения типа:
(*)

Эти выражения бессмысленны с алгебраической точки зрения. Иногда, исходя из понятий математического анализа, таким выражениям удается придать определенный удобный смысл.

Чаще всего, в случае непрерывности функции у = f (x) в некоторой окрестности точки х = а, исключая саму эту точку, под f (a) понимают .

Более того, неопределенные выражения часто возникают при вычислении пределов функций, построении графиков и т.д. В этих случаях имеется ряд приемов «раскрытия неопределенностей».

Иногда неопределенными называют выражения, предел которых не может быть найден путем непосредственного применения теорем о пределе.

Основными инструментами для раскрытия неопределённостей служат: формула Тейлора,первый замечательный предел, второй замечательный предел, правило Лопиталя и т.п.

 

Билет 11

Определение последовательности. ТеоремаБольцано-Вейерштрасса

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :

Элемент называется первым членом последовательности, - вторым,..., - -ым или общим членом последовательности.

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член последовательности и известно, что , то есть и так далее до нужного члена.

 

 

Теорема Больцано-Вейерштрасса (или лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке).

Из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку . В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке .

Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Действительно, согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Пусть - ограниченная последовательность, элементы которой принадлежат промежутку . Тогда предел любой сходящейся подпоследовательности этой последовательности также находится на сегменте .

 

Билет 12

Критерий Коши сходимости последовательностей

В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности или суммы бесконечного ряда или несобственного интеграла. Соответственно, расходимость — отсутствие конечного предела.

Из определения сходимости последовательности к точке a вытекает, что для любого интервалом длиной 2 можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке . Справедливо и обратное: если последовательность такова, что для любого можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно.

Определение. Подпоследовательность называется последовательностью Коши или фундаментальной, если

Последовательность называется фундаментальной, если для существует номер такой, что для любых выполняется неравенство:

1. Если последовательность фундаментальная, тогда существует такой номер , что в -окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с этого номера.
2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограниченная и верхний предел равен нижнему.

 

 

Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

 

Билет 13

Число е

e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Максимум функции достигается при .

Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Поскольку функция экспоненты интегрируется и дифференцируется «в саму себя», логарифмы именно по основанию e принимаются как натуральные.

Число e может быть определено несколькими способами.

• Через предел:

(второй замечательный предел).

• Как сумма ряда:

или .

• Как единственное число a, для которого выполняется

• Как единственное положительное число a, для которого верно

 

Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.

 

• 
• 

 

Билет 14

Предел функции. Определение окрестности предела. Определение предела по Гейне на языке последовательностей. Определение предела по Коши. Теорема о равносильности определений по Гейне и по Коши

Преде́лфу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

Определение по Гейне (на языке последовательностей):

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к

Определение по Коши:

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны. Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

Билет 15

Односторонние пределы. Теорема о существовании предела

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается

Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Если существуют и , причем , то существует и . Обратное утверждение также верно.

В случае, если , то предел не существует.

 

Признаки существования пределов:

(О пределе промежуточной функции).

Если имеет место соотношение и , , то и

(О пределе монотонной функции).

Если функция является монотонной и ограниченной в области или , то соответственно существует ее левый предел или ее правый предел .

Ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

 

Билет 16

Критерий Коши о существовании предела

 

Для того чтобы функция f, x X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x ₀ конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовала такая окрестность U (x ₀) точки x ₀, что для любых x' X U (x ₀) и x" X U (x ₀) выполнялось бы неравенство

| f (x") - f (x')|< .

(6.39)

Докажем необходимость условия (6.39). Пусть f (x) = a R, тогда для любого > 0 существует такая окрестность U (x ₀) точки x ₀, что для каждого x X U (x ₀) справедливо неравенство

| f (x) - a | < /2.

Поэтому если x' X U (x ₀)и x" X U (x ₀), то

| f (x") - f (x')| = |[ f (x") - a ] + [ a - f (x')]| <
< | f (x") - a | + | a - f (x')| < /2 + /2 = .

Докажем достаточность условий (6.39) для существования конечного предела f (x). Пусть произвольно фиксировано > 0; тогда существует такая окрестность U (x ₀), что для всех x' X U (x ₀) и всех
x" X U (x ₀) выполняется неравенство | f (x") - f (x')| < . Возьмем какую-либо последовательность x_n x ₀, x_n X, n = 1, 2,... В силу определения предела последовательности существует такой номер n ₀, что для всех
n > n ₀ имеет место включение x_n U (x ₀), а поскольку x_n X, то и включение x_n X U (x ₀). Тогда для всех номеров n > n ₀ и m > n ₀ будем иметь x_n X U (x ₀), x_m X U (x ₀), и, следовательно, будет выполняться неравенство | f (x_n) - f (x_m)| < . Это означает, что последовательность { f (x_n)} удовлетворяет критерию сходимости Коши для последовательностей и, следовательно, имеет конечный предел.
Таким образом, для любой последовательности x_n x ₀, x_n X, n = 1, 2,..., последовательность { f (x_n)} имеет конечный предел. Отсюда в силу леммы 2 п. 6.4 сразу следует, что функция f имеет в точке x ₀ конечный предел.

Замечание. Сформулируем критерий Коши существования конечного предела функции в терминах неравенств для случая, когда x ₀ - действительное число: функция f, x X, имеет в точке x ₀ R конечный предел тогда и только тогда, когда для любого > 0 существует такое > 0, что для всех точек
x' X, x" X, | x' - x ₀| < , | x" - x ₀| < , выполняется неравенство | f (x") - f (x')| < .