Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.

Системы линейных неравенств. Решение линейных неравенств в . Постановка задачи линейного программирования, графический метод её решения.

Литература: [5] – C.271-293.

3. Рекомендуемая литература.

Основная литература:

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Наука, 1998.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. Учеб. пособие для вузов. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1997.

3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 1998.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. -М. Высшая школа, 2002.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Часть 1. Учеб. пособие для втузов. -М: Высшая школа, 1997.

6. Сборник задач по математике для втузов. Часть1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. -М: Наука, 1993.

 

Дополнительная литература:

 

7. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: В 2-х частях. Ч.1. –М.: Финансы и статистика, 2000.

8. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник / Под ред. В.И.Ермакова. М: ИНФРА-М, 1999.

9. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. М.: Физматлит, 2001.

10. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб.пособие для вузов/ Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др. Под ред.проф.Н.Ш.Кремера. –М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

11. Сборник задач по математике для вузов. Под ред. Котляра Л.М., Углова А.Н. -Наб. Челны: Изд-во КамПИ, 2004, 2006, 2007.

 

 

4. Методические указания по изучению дисциплины.

В процессе изучения данной дисциплины студенты должны сначала изучить теоретический материал и выработать навыки решения типовых задач, используя рекомендованную литературу, а затем выполнить одну контрольную работу (задания для контрольной работы приведены в разделе 5.1).

При выполнении контрольной работы необходимо придерживаться указанных ниже правил:

1. Контрольная работа должна быть выполнена студентом в отдельной ученической тетради с полями не менее 3 см для замечаний преподавателя.

2. На обложке тетради указываются: название дисциплины; номер варианта и номера решаемых задач; Ф.И.О. студента, выполнившего работу, его номер группы и номер зачетной книжки; Ф.И.О. преподавателя, проверяющего работу (образец оформления обложки приведён в Приложении 3).

3. Номер варианта соответствует номеру студента в списке группы.

4. Номера решаемых задач выбираются из ТАБЛИЦЫ НОМЕРОВ ВЫПОЛНЯЕМЫХ ЗАДАНИЙ (Приложение 4).

5. Условия задач переписываются полностью, без сокращения слов, после чего приводится их подробное решение (чертежи можно выполнять аккуратно от руки). В конце решения приводится ответ.

6. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по порядку номеров. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

7. Если в работе имеются ошибки, студент должен выполнить все требования преподавателя, изложенные в рецензии, и сдать работу с исправлениями на повторную проверку.

8. Никакие исправления в тексте уже проверенной работы не допускаются, все исправления записываются после рецензии преподавателя с указанием номера задачи, к которой относятся дополнения и исправления.

9. Работа может быть выполнена заново в случае выявления серьёзных замечаний и ошибок.

10. В конце тетради рекомендуется оставлять несколько чистых страниц для дополнений и исправлений.

После проверки контрольная работа предъявляется к защите. На защите студент должен показать свое умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.

Образец решения типового варианта контрольной работы приведён в Приложении 1.

5. Материалы для контроля знаний студентов.

Итоговой формой контроля знаний является экзамен в конце семестра обучения. На экзамене студент должен показать знание теоретических основ курса в объёме вопросов, приведённых в разделе 5.2 и умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.

Задания для контрольной работы.

 

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по строке;

б) непосредственным разложением по столбцу.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

11 – 20. Найтиматрицу , если .

11. , 12. ,

13. , 14. ,

15. , 16. ,

17. , 18. ,

19. , 20. , .

21 – 30. Найтисобственные числа и собственные векторы матрицы .

21. . 22. . 23. .

24. . 25. . 26. .

27. . 28. . 29. .

30. .

 

31 – 40. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: а) найти решение системы методом Крамера;

б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41–50. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

41 а) б)

42 а) б)

43. а) б)

44. а) б)

45. а) б)

46. а) б)

47. а) б)

48. а) б)

49. а) б)

50. а) б)

51 – 60. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).

51. .

52. .

53. .

54. .

55. .

56. .

57. .

58. .

59. .

60. .

61 – 70. Даны векторы . Требуется:

а) вычислить скалярное произведение векторов , если , ; б) вычислить векторное произведение векторов ; в) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

 

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71-80. Даны вершины треугольника . Требуется найти:

а) длину стороны ; б) уравнение стороны ;

в) уравнение медианы , проведённой из вершины ;

г) уравнение высоты , проведённой из вершины ;

д) длину высоты ; е) площадь треугольника . Сделать чертёж.

71. . 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81 – 90. Даны вершины пирамиды . Требуется найти:

а) длины ребер и ; б) угол между ребрами и ;

в) площадь грани ; г) объем пирамиды ;

д) уравнение плоскости грани ;

е) длину высоты пирамиды .

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91–100. Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её.

91. 92.

93. 94.

95. 96.

97. 98.

99. 100.

101-110. Требуется: а) изобразить графически область допустимых решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.

101. 102. 103.

104. 105. 106.

107. 108.

109. 110.

111-120. Имеются данные о работе трёх отраслей экономики в отчётном периоде и план выпуска конечной продукции в следующем периоде (в усл. ден. ед.). Требуется, используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти: а) матрицы коэффициентов прямых и полных затрат; б) плановые объёмы выпуска валовой продукции каждой из отраслей, межотраслевые поставки и объёмы выпуска чистой продукции. В ответе записать данные межотраслевого баланса планового периода. (Указание: значения коэффициентов прямых и полных затрат вычислить с точностью до 0.01; значения плановых объёмов выпуска валовой и чистой продукции, межотраслевых поставок округлить до целых значений).

111.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

112.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

113.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

114.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

115.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

116.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

117.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

118.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

119.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

120.

Отрасли производства	Отрасти потребления	Конечный продукт	Валовой продукт
I	II	III
I
II
III
Чистый продукт
Валовой продукт

Вопросы к экзамену.

Раздел I. Линейная алгебра.

1. Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц.

2. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их свойства. Линейная комбинация матриц.

3. Определители 2-ого и 3-егопорядка, их вычисление. Основные свойства определителей.

4. Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

5. Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Частные виды СЛУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛУ.

6. Решение, множество решений, совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛУ. Элементарные преобразования СЛУ, их основное свойство.

7. Теорема Крамера (о разрешимости СЛУ порядка ). Формулы Крамера для решения СЛУ, условия их применимости.

8. Метод Гаусса решения СЛУ, условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛУ по методу Гаусса.

9. Преобразования СЛУ, выполняемые при выполнении прямого и обратного ходов метода Гаусса. Базисные и свободные переменные. Нахождение общего решения СЛУ. Частные решения СЛУ.

10. Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

11. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛУ и условия его применимости.

12. Однородные СЛУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛУ.

13. Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронеккера-Капелли).

14. Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Линейная комбинация векторов.

15. Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

16. Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

17. Понятие векторного пространства , евклидова пространства . Базис, канонический базис, ранг . Разложение вектора в по векторам его базиса, координаты вектора. Теорема о единственности разложения вектора в данном базисе.

18. Понятие оператора, линейного оператора. Матрица линейного оператора. Сумма (разность) операторов, произведение оператора на число, произведение оператора на оператор, обратный оператор.

19. Понятие собственного числа и собственного вектора оператора. Характеристическое уравнение. Нахождение собственных чисел и векторов оператора.

20. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Вырожденная, невырожденная, каноническая квадратичная форма. Закон инерции квадратичных форм.

21. Понятие знакоопределённости квадратичной формы. Главные миноры. Критерии знакоопределённости квадратичной формы.

 

Раздел II. Векторная алгебра.

22. Понятие геометрического вектора. Равенство векторов. Противоположный вектор. Орт вектора. Графические правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Проекция вектора на вектор.

23. Коллинеарность и компланарность векторов. Базис и канонический базис плоскости ; базис и канонический базис пространства . Координаты вектора.

24. Понятие декартовой системы координат в . Радиус-вектор, координаты точки. Вычисление длины и направляющих косинусов вектора; координат вектора, заданного двумя точками; расстояния между точками.

25. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие ортогональности векторов.

26. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности векторов.

27. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности векторов.

Раздел III. Аналитическая геометрия.

28. Понятие линии на плоскости. Общее уравнение линии и его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Окружность и её уравнение.

29. Прямая линия на плоскости и её общее уравнение. Нормальный и направляющий векторы прямой. Нахождение уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение прямой.

30. Каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости и его вычисление, условия и ½½ прямых.

31. Понятие поверхности. Общее уравнение поверхности, его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Сфера и её уравнение.

32. Плоскость и её общее уравнение. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение плоскости.

33. Уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, условия перпендикулярности и параллельности плоскостей.

34. Понятие линии в пространстве и её общее уравнение. Прямая линия в пространстве и её общее уравнение. Направляющий вектор прямой.

35. Уравнения прямой в пространстве: каноническое, проходящей через две точки; параметрическое. Приведение общего уравнения к каноническому.

36. Угол между двумя прямыми в пространстве, между прямой и плоскостью и их вычисление, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых, прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

37. Кривая 2-ого порядка на плоскости и её общее уравнение. Классификация кривых 2-ого порядка.

38. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Построение эллипса. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, общее геометрическое свойство точек эллипса.

39. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Построение гиперболы. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, асимптоты, общее геометрическое свойство точек гиперболы.

40. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Построение параболы. Вершина, фокус, эксцентриситет, директриса, общее геометрическое свойство точек параболы.

41. Область решений линейного неравенства, системы линейных неравенств в . Графическое изображение области решений системы линейных неравенств в .

Приложения.

6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.

1 – 10. Вычислить определитель:

а) непосредственным разложением по строке;

б) непосредственным разложением по столбцу;

Решение. а) вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: = .

Тогда = =

б) вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: = .

Тогда = = .

Ответ: .

11-20. Найти матрицу , если:

, .

Решение:

1) Транспонируем матрицу : .

2) Вычисляем произведение матриц :

.

3) Находим матрицу :

.

4) Находим матрицу :

.

Ответ: .

21-30. Найти собственные числа и векторы матрицы .

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: , определяемым методом Гаусса.

Решение:

1) Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

, .

Таким образом, собственными числами матрицы являются: и .

2) Находим собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным числам и .

2.1) Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :

или

,