Расчет интерференционной картины от двух источников

 

Рассмотрим более подробно основные свойства интерференционной картины, создаваемой двумя источниками электромагнитных волн одинаковой интенсивности и наблюдаемой на плоском экране, расположенным на расстоянии от плоскости расположения от источников. В качестве таких источников могут мыслиться, например две бесконечно-узкие, параллельные друг - другу щели или два отверстия бесконечно малого диаметра, расстояние между которыми , прорезанные в плоском непрозрачном экране (рис. 4.3a). Пусть источники электромагнитных волн располагаются в однородной среде с показателем преломления .

Рис. 4.3a.

 

Область, в которой волны источников перекрываются, называется полем интерференции. В поле интерференции имеются места, где волны источников будут складываться в фазе. В этих местах будут отмечаться максимумы интенсивности электромагнитного поля. Там же, где волны будут складываться в противофазе - минимальная интенсивность. Если в поле интерференции поместить непрозрачный экран, то будет наблюдается чередование светлых и тёмных полос (рис. 4.3a), представляющие собой интерференционную картину. Параметрами интерференционной картины являются положение её максимумов и минимумов , а также связанная с ними ширина полос интерференционной картины (рис. 4.3a).

 

В соответствии с (4.4a) для расчёта этих величин надо найти разность фаз излучаемых источниками волн в точке наблюдения, расположенной на экране. Как показано в главе 3, для расчёта надо определить оптическую разность хода волн от первого и второго источников (рис. 4.3a) до точки наблюдения, поскольку

 

,

 

где - показатель преломления среды, в которой распространяются электромагнитные волны; - расстояния, проходимые волнами соответственно от первого и второго источников (рис. 4.3a) до точки наблюдения; - длина волны.

 

Из рис. 4.3a имеем очевидные соотношения, определяющие расстояния :

 

(4.6a)

 

(4.6b)

 

Отсюда следует, что

 

 

Принимая во внимание, что при условии , получаем:

 

.

 

Использование этого соотношения приводит к следующему выражению для оптической разности хода волн :

 

.

(4.7)

 

Максимум интерференционной картины будет наблюдаться при условии синфазного сложения колебаний волн источников, которое имеет место при . Исходя из связи между разностью фаз колебаний и оптической разностью хода , можно заключить, что синфазное сложение колебаний имеет место при условии кратности оптической разности хода целому числу длин волны в среде:

 

,

(4.8)

 

где - произвольное целое число, равное .

 

Найдём координату , определяющую положение - ого максимума интерференционной картины:

 

,

(4.9a)

 

где - длина волны в вакууме, связанная с длиной волны в среде распространения с помощью формулы .

 

Порядком интерференционного максимума называют его номер ' ', отсчитываемый от центрального (), которому соответствует центр интерференционной картины, где складываются волны от источников, проходящие одинаковый путь ().

 

Аналогичным образом можно найти положения минимумов интерференционной картины двух источников, определяемые координатами , если положить оптическую разность хода кратной нечётному числу полуволн:

 

.

(4.9b)

 

где - произвольное целое число, равное .

 

Отсюда следует, что в рассматриваемой интерференционной картине положения соседних интерференционных максимумов и минимумов находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и не зависят от того, насколько эти максимумы удалены от центра интерференционной картины. Это свойство максимумов и минимумов позволяет определить ширину интерференционной полосы.

 

Ширина интерференционной полосы определяется, как расстояние между соседними интерференционными максимумами или минимумами, интерференционные порядки которых отличаются на единицу. Для рассматриваемой интерференционной картины двух источников волн одинаковой интенсивности в соответствии с выражениями (4.9) ширина полосы оказывается равной:

 

.

(4.10)

 

Из этой формулы следует, что расстояние между интерференционными полосами растёт при уменьшении . Кроме того, если расстояние до экрана соизмеримо с расстоянием между щелями (), то

 

.

 

В этом случае для световых волн, длина волны которых порядка долей микрона, интерференционные полосы неразличимы невооружённым взглядом и для их наблюдения необходимо использовать микроскоп.

 

Рассмотрим распределение интенсивности света в плоскости интерференционной картины, если интенсивность источников одинаковы, т.е. . Из выражения (4.4a) в этом случае следует:

 

,

(4.11)

 

где - волновое число электромагнитных волн в вакууме, - оптическая разность хода волн от источников до точки наблюдения, равная в соответствии с выражением (4.7).

Рис. 4.3b.

 

В плоскости экрана интенсивность интерференционной картины (рис. 4.3b) двух точечных монохроматических источников электромагнитных волн одинаковой интенсивности меняется в зависимости от координаты точки наблюдения на экране в соответствии с выражением, следующим из (4.4a)

 

.

 

Изменение интенсивности в соответствии с этим выражением в оптике известно, как изменение интенсивности по закону "квадрат косинуса". В максимумах интенсивность интерференционной картины в четыре раза превышает интенсивность интерферирующих источников волны. В минимумах интенсивность равна нулю. Среднее значение распределения интенсивности на интерференционной картине равно сумме интенсивностей каждого из интерферирующих источников. На рис. 4.3c приводится фотография распределения интенсивности интерференционной картины от двух щелей. Полутона, видные на фотографии, соответствуют изменению интенсивности по закону 'квадрат косинуса '.

 

Для немонохроматических источников электромагнитных волн в центре картины максимумы всех составляющих колебаний разных частот интерферирующих источников совпадают. Однако, по мере удаления от центра ввиду того, что направления на максимумы и минимумы зависят от длины волны, может происходить ' наложение' интерференционных максимумов одной волны на минимумы другой. В результате

Рис. 4.3c.

 

интерференционная картина немонохроматических источников будет смазываться ближе к краю их интерференционного поля. Следовательно, число наблюдаемых интерференционных полос будет меньше по сравнению со случаем монохроматических источников. Возможность наблюдения интерференционной картины электромагнитных волн обусловлена свойством когерентности их источников, подробнее рассматриваемой в следующем параграфе.