Равновесный характер теплового излучения. Закон Кирхгофа.

Р. Кирхгоф установил важный закон в теории теплового излучения, отталкиваясь от такой его особенности, отличающей тепловое излучение от других видов излучения (например,
от различных видов люминесценции), как способность находиться в равновесии со своим источником. В изолированной (замкнутой) системе, например в идеально отражающей полости,
окружающей излучающее тело, его излучение со временем становится макроскопически определенным. Это значит, что распределение энергии по спектру со временем не меняется, и количество излученной энергии в среднем должно быть равно количеству поглощенной энергии (для каждой частоты, направления распространения и поляризации). Поскольку излучение находится в равновесии (термодинамическом) с излучающем телом, можно говорить о температуре не только тела, но и самого излучения, считая их равными. Равновесный характер позволяет применить термодинамическое описание к тепловому излучению.

Исходя из термодинамических соображений, Р. Кирхгоф в 1859 г. показал, что в состоянии термодинамического равновесия отношение излучательной и поглощательной способностей тел должно быть одинаковым для всех тел, независимо от их природы и конкретных особенностей, являясь функцией только температуры и частоты (длины волны): El, Т /al, Т = ¦(l, Т), где ¦(l, Т) - универсальная (т. е. независящая от рода тела) функция длины волны и температуры, называемая функцией Кирхгофа и al, Т = dФl, погл/dФl, пад - поглощательная способность (коэффициент поглощения) тела, численно равная отношению поглощенного телом элементарного (в интервале длин волн от l до l + dl) потока dФl погл к падающему на него элементарному потоку dФl пад излучения:
dФl, погл = dEпогл/(dt×dl).

Согласно закону Кирхгофа, тело, которое больше поглощает, должно и излучать больше. Поглощательная способность реальных тел в состоянии равновесия всегда меньше единицы и
в отличие от испускательной способности, она – безразмерна.

Особую роль в теории теплового излучения играет такая идеализированная модель тела, как абсолютно черное тело (а. ч.т.), которое полностью поглощает все падающее на него излучение любых длин волн: для него al, Т º 1. Близкой к единице поглощательной способностью обладает сажа (a» 0,98), черный бархат (a» 0,995). Технической моделью а. ч.т. является малое отверстие в полости с поглощающими стенками. Луч, вошедший в это отверстие, многократно отражаясь от стенок и поглощаясь ими, практически уже не выйдет из него, то есть полностью поглотится.

В соответствии с законом Кирхгофа, для а. ч.т. El, Т = ¦(l, Т), т. е. излучательная способность абсолютно черного тела и есть универсальная функция Кирхгофа.

Абсолютно черное тело - это тело, для которого поглощательная способность тождественно равна единице для всех частот или длин волн и для любой температуры, т.е.:

 

Из определения абсолютно черного тела следует, что оно должно поглощать все падающее на него излучение.

Понятие "абсолютно черное тело" - это модельное понятие. В природе абсолютно черных тел не существует, но можно создать устройство, являющееся хорошим приближением к абсолютно черному телу - модель абсолютно черного тела.

Модель абсолютно черного тела - это замкнутая полость с маленьким, по сравнению с ее размерами, отверстием (рис. 1.2). Полость изготавливают из материала, достаточно хорошо поглощающего излучение. Излучение, попавшее в отверстие, прежде чем выйти из отверстия, многократно отражается от внутренней поверхности полости.

При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате из отверстия выходит отраженный потокdФ", являющийся очень малой частью попавшего в него потока излучения dФ. В результате поглощательная способность отверстия в полости будет близка к единице.

 

Рис. 1.2

Если внутренние стенки полости поддерживать при температуре Т, то из отверстия будет выходить излучение, свойства которого будут очень близки к свойствам излучения абсолютно черного тела. Внутри полости это излучение будет находиться в термодинамическом равновесии с веществом полости.

По определению плотности энергии, объемная плотность энергии w(Т) равновесного излучения в полости - это:

 

где dЕ - энергия излучения в объеме dV. Спектральное распределение объемной плотности дается функциями u(λ,T) (или u(ω,T)), которые вводятся аналогично спектральной плотности энергетической светимости ((1.6) и (1.9)), т.е.:

 

Здесь dw_λ и dw_ω - объемная плотность энергии в соответствующем интервале длин волн dλ или частот dω.

Закон Кирхгофа утверждает, что отношение испускательной способности тела ((1.6) и (1.9)) к егопоглощательной способности (1.14) одинаково для всех тел и является универсальной функцией частоты ω(или длины волны λ) и температуры Т, т.е.:

 

Очевидно, что поглощательная способность a_ω (или a_λ) для разных тел разная, то из закона Кирхгофа следует, что чем сильнее тело поглощает излучение, тем сильнее оно должно это излучение испускать. Так как для абсолютного черного тела a_ω ≡ 1 (или a_λ ≡ 1), то отсюда следует, что в случае абсолютно черного тела:

 

Иными словами, f(ω,T) либо φ(λ,T), есть не что иное как, спектральная плотность энергетической светимости (или испускательная способность) абсолютно черного тела.

Функция φ(λ,T) и f(ω,T) связаны со спектральной плотностью энергии излучения абсолютно черного тела следующими соотношениями:

 

где c - скорость света в вакууме.

Схема установки для опытного определения зависимости φ(λ,T) приведена на рисунке 1.3.

 

Рис. 1.3

Излучение испускается из отверстия замкнутой полости, нагретой до температуры Т, затем попадает на спектральный прибор (призменный или решеточный монохроматор), который выделяет излучение в интервале частот от λ до λ + dλ. Это излучение попадает на приемник, который позволяет измерить падающую на него мощность излучения. Поделив эту приходящуюся на интервал от λ­­ до λ + dλ мощность на площадь излучателя (площадь отверстия в полости!), мы получим значение функции φ(λ,T) для данной длины волны λи температуры Т. Полученные экспериментальные результаты воспроизведены на рисунке 1.4.

 

Рис. 1.4

 

Законы теплового излучения АЧТ. Распределение энергии излучения АЧТ по спектру. Квантовая модель излучения Планка.

Законы теплового излучения

Между излучательностью и поглощательной способностью существует взаимосвязь, установленная Кирхгофом. Отношение излучательности тела к его поглощательной способности для произвольной длины волны и температуры одинаково для всех тел и равно спектральной плотности излучения абсолютно черного тела:

 

, (1.6)

 

где – спектральная плотность излучения, зависящая только от длины волны и температуры.

Величины и могут меняться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому. Отношение же их оказывается одинаковым для всех тел.

Для абсолютно черного тела ,поэтому из закона Кирхгофа (1.6) вытекает, что . Таким образом, универсальная функция Кирхгофа есть не что иное, как излучательность абсолютно черного тела.

Из закона Кирхгофа вытекает, что телом сильнее испускаются и поглощаются излучения одних и тех же длин волн.

Поглощательная способность серых тел при данной температуре постоянна и не зависит от длины волны. По закону Кирхгофа (1.6) для серого тела

 

(1.7)

 

Планк нашел зависимость спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела от длины волны и температуры. Эта зависимость выражается формулой Планка:

 

, (1.8)

 

где Джс – постоянная Планка, Дж/К – постоянная Больцмана, м/с – скорость света в вакууме.

Графическая зависимость от при некоторой температуре представлена на рис. 1.2, где изображены две кривые, соответствующие двум разным температурам и , причем  .

 

Рис. 1.2. Распределение энергии в спектре
излучения абсолютно черного тела

 

Энергетическая светимость абсолютно черного тела равна площади, ограниченной кривой зависимости от и осью абсцисс, и по закону Стефана–Больцмана пропорциональна четвертой степени температуры.

, (1.9)

 

где = 5,6710^-8 Втм^-2 (К)^-4 – постоянная Стефана–Больцмана.

Энергетическая светимость серого тела:

 

. (1.10)

 

Длина волны , на которую приходится максимум спектральной плотности излучения , может быть найдена из условия максимума функции . Соответствующий расчет приводит к соотношению

 

. (1.11)

 

Это соотношение называется законом смещения Вина. Из (1.11) следует, что при повышении температуры максимум спектральной плотности излучения смещается в область более коротких волн (рис. 1.2). мК – постоянная закона смещения Вина.

Максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела возрастает пропорционально пятой степени температуры

, (1.12)

где .

Выражение (1.12) – закон о максимуме спектральной плотности энергетической светимости (излучательности) Вина.

На рисунке приведена зависимость излучательной способности АЧТ от длины волны при различных температурах. Эти данные получены экспериментально. Из графиков видно, что энергия распределяется по длинам волн неравномерно, с увеличением температуры излучение резко возрастает. При указанных температурах максимумы излучения попадают в инфракрасный диапазон длин волн, на видимую область (0,4-0,75 мкм) приходится незначительное количество энергии [v]. С ростом температуры максимумы смещаются в сторону более коротких длин волн. На втором рисунке приведен для сравнения спектр солнечного излучения. «Провалы» в спектре – это линии поглощения атмосферой, огибающая – спектр излучения АЧТ.

 

 

Законы изучения АЧТ. На основании экспериментальных данных были получены следующие законы:

	Закон Стефана-Больцмана «Энергетическая светимость АЧТ прямо пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры». Из закона следует, что при небольшом увеличении температуры, энергия излучения возрастает очень сильно. Например, при увеличении температуры в 2 раза, излучаемая энергия возрастает в 16 раз. s = 5,67×10^-8Вт/(м^2К^4) – постоянная Стефана-Больцмана.
	Закон смещения Вина: «Длина волны, на которую приходится максимум излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре». Из закона следует, что с увеличением температуры максимум излучения смещается в сторону более коротких волн.b= 2,9×10^-3 1/м – постоянная Вина.
	Закон общепринятого названия не имеет, иногда называется 2-ым законом Вина: «Максимальная излучательная способность прямо пропорциональна пятой степени абсолютной температуры» С = 1,3×10^-5 Вт/(м^3.К^5)- коэффициент пропорциональности

Выясним, что представляют собой величины в формулах (§) и (§§) на графике зависимости излучательной способности АЧТ r_o от длины волны l.

Кривая излучения АЧТ. dR – поток излучения, приходящийся на интервал длин волн dl (площадь плотно заштрихованной полоски) R – интеграл (см. формулу §§) – на графике – это площадь под всей кривой излучения. lmax – длина волны, на которую приходится максимум излучения

 

Квантовая модель Макса Планка «С 1896 года Макс Планк заинтересовался измерениями, производившимися в Государственном физико-техническом институте в Берлине, а также проблемами теплового излучения тел. Любое тело, содержащее тепло, испускает электромагнитное излучение. Если тело достаточно горячее, то это излучение становится видимым. При повышении температуры тело сначала раскаляется докрасна, затем становится оранжево-жёлтым и, наконец, белым. Излучение испускает смесь частот (в видимом диапазоне частота излучения соответствует цвету). Однако излучение тела зависит не только от температуры, но и до некоторой степени от таких характеристик поверхности, как цвет и структура. В качестве идеального эталона для измерения и теоретических исследований физики приняли воображаемое абсолютное черное тело. По определению, абсолютно чёрным называется тело, которое поглощает все падающее на него излучение и ничего не отражает. Излучение, испускаемое абсолютно чёрным телом, зависит только от его температуры. Хотя такого идеального тела не существует, неким приближением к нему может служить замкнутая оболочка с небольшим отверстием (например, надлежащим образом сконструированная печь, стенки и содержимое которой находятся в равновесии при одной и той же температуре). Одно из доказательств чёрнотельных характеристик такой оболочки сводится к следующему. Излучение, падающее на отверстие, попадает в полость и, отражаясь от стенок, частично отражается и частично поглощается. Поскольку вероятность того, что излучение в результате многочисленных отражений выйдет через отверстие наружу, очень мала, оно практически полностью поглощается. Излучение, берущее начало в полости и выходящее из отверстия, принято считать эквивалентным излучению, испускаемому площадкой размером с отверстие на поверхности абсолютно черного тела при температуре полости и оболочки. Подготавливая собственные исследования, Макс Планк прочитал работу Кирхгофа о свойствах такой оболочки с отверстием. Точное количественное описание наблюдаемого распределения энергии излучения в этом случае получило название проблемы чёрного тела. Как показали эксперименты с чёрным телом, график зависимости энергии (яркости) от частоты или длины волны является характеристической кривой. При низких частотах (больших длинах волн) она прижимается к оси частот, затем на некоторой промежуточной частоте достигает максимума (пик с округлой вершиной), а затем при более высоких частотах (коротких длинах волн) спадает. При повышении температуры кривая сохраняет свою форму, но сдвигается в сторону более высоких частот. Были установлены эмпирические соотношения между температурой и частотой пика на кривой излучения черного тела (закон смещения Вина, названный так в честь Вильгельма Вина) и между температурой и всей излученной энергией (закон Стефана - Больцмана, названный так в честь австрийских физиков Йозефа Стефана и Людвига Больцмана), но никому не удавалось вывести кривую излучения черного тела из основных принципов, известных в то время. Вину удалось получить полуэмпирическую формулу, которую можно подогнать так, что она хорошо описывает кривую при высоких частотах, но неверно передает её ход при низких частотах. Дж. У. Стретт (лорд Рэлей) и английский физик Джеймс Джинс применили принцип равного распределения энергии по частотам колебаний осцилляторов, заключенных в пространстве черного тела, и пришли к другой формуле (формуле Рэлея - Джинса). Она хорошо воспроизводила кривую излучения чёрного тела при низких частотах, но расходилась с ней на высоких частотах. Макс Планк под влиянием теории электромагнитной природы света Джеймса Клерка Максвелла (опубликованной в 1873 г. и подтверждённой экспериментально Генрихом Герцем в 1887 г.) подошёл к проблеме чёрного тела с точки зрения распределения энергии между элементарными электрическими осцилляторами, физическая форма которых никак не конкретизируется. Хотя на первый взгляд может показаться, что выбранный им метод напоминает вывод Рэлея - Джинса, Макс Планк отверг некоторые из принятых этими учёными допущений. В 1900 г., после продолжительных и настойчивых попыток создать теорию, которая удовлетворительно объясняла бы экспериментальные данные, Планку удалось вывести формулу, которая, как обнаружили физики-экспериментаторы из Государственного физико-технического института, согласовывалась с результатами измерений с замечательной точностью. Законы Вина и Стефана - Больцмана также следовали из формулы Планка. Однако для вывода своей формулы ему пришлось ввести радикальное понятие, идущее вразрез со всеми установленными принципами. Энергия планковских осцилляторов изменяется не непрерывно, как следовало бы из традиционной физики, а может принимать только дискретные значения, увеличивающиеся (или уменьшающиеся) конечными шагами. Каждый шаг по энергии равен некоторой постоянной (называемой ныне постоянной Планка), умноженной на частоту. Дискретные порции энергии впоследствии получили название квантов. Введенная Планком гипотеза ознаменовала рождение квантовой теории, совершившей подлинную революцию в физике. Классическая физика в противоположность современной физике ныне означает «физика до Планка». Макс Планк отнюдь не был революционером, и ни он сам, ни другие физики не сознавали глубокого значения понятия «квант». Для Макса Планка квант был всего лишь средством, позволившим вывести формулу, дающую удовлетворительное согласие с кривой излучения абсолютно чёрного тела. Он неоднократно пытался достичь согласия в рамках классической традиции, но безуспешно. Вместе с тем он с удовольствием отметил первые успехи квантовой теории, последовавшие почти незамедлительно. Его новая теория включала в себя, помимо постоянной Планка, и другие фундаментальные величины, такие, как скорость света и число, известное под названием постоянной Больцмана. В 1901 г., опираясь на экспериментальные данные по излучению чёрного тела, Макс Планк вычислил значение постоянной Больцмана и, используя другую известную информацию, получил число Авогадро (число атомов в одном моле элемента). Исходя из числа Авогадро, Планк сумел с замечательной точностью найти электрический заряд электрона. Позиции квантовой теории укрепились в 1905 г., когда Альберт Эйнштейн воспользовался понятием фотона - кванта электромагнитного излучения - для объяснения фотоэлектрического эффекта (испускание электронов поверхностью металла, освещаемой ультрафиолетовым излучением). Эйнштейн предположил, что свет обладает двойственной природой: он может вести себя и как волна (в чём нас убеждает вся предыдущая физика), и как частица (о чём свидетельствует фотоэлектрический эффект). В 1907 г. Эйнштейн ещё более упрочил положение квантовой теории, воспользовавшись понятием кванта для объяснения загадочных расхождений между предсказаниями теории и экспериментальными измерениями удельной теплоёмкости тел - количества тепла, необходимого для того, чтобы поднять на один градус температуру одной единицы массы твёрдого тела. Ещё одно подтверждение потенциальной мощи введённой Макс Планк новации поступило в 1913 г. от Нильса Бора, применившего квантовую теорию к строению атома. В модели Бора электроны в атоме могли находиться только на определённых энергетических уровнях определяемых квантовыми ограничениями. Переход электронов с одного уровня на другой сопровождается выделением разности энергий в виде фотона излучения с частотой, равной энергии фотона деленной на постоянную Планка. Тем самым получали квантовое объяснение характеристические спектры излучения, испускаемого возбуждёнными атомами».