Закон максвелла распределения молекул по скоростям

При введении средней квадратичной скорости справедливо полагалось, что даже в состоянии термодинамического равновесия молекулы обладают различными скоростями. Закон Максвелла позволяет определить число молекул идеального газа, значения скоростей которых лежат в некотором интервале.

 

¨ Функция распределения молекул по скоростям — это относительное число молекул, скорости которых лежит в интервале от до

.

Здесь — число молекул в некотором объёме газа, dN — число молекул, скорости которых лежат в интервале от до .

¨ Закон распределения молекул идеального газа по скоростям получен Максвеллом с применением методов теории вероятностей

,

где — масса молекулы, — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура.

¨ График функции распределения (рис. 8.2) имеет явный максимум:

• Относительное число молекул со скоростями в интервале от до определяется площадью заштрихованной криволинейной трапеции, т.к. .
• Число молекул с очень малыми и очень большими скоростями крайне мало, т.к. при этих скоростях .
• Площадь (рис. 8.2), ограниченная кривой и осью скоростей равна единице, т.к. число молекул, скорости которых лежат в интервале до , равно числу молекул системы ,т.е. .
• С увеличением температуры газа максимум кривой (рис. 8.3) смещается в сторону больших скоростей, а его высота уменьшается, т.к. площадь под кривой должна оставаться равной единице при любой температуре.

¨ Наиболее вероятная скорость молекул — скорость, при которой функция распределения (рис. 8.2) принимает максимальное значение

.

Найдем , исследуя на экстремум. При этом коэффициент, независящий от скорости не учитываем.

Полученное выражение равно нулю при и . Однако при таких скоростях функция распределения, как было отмечено выше, стремится к минимуму. Следовательно, указанные решения не имеют физического смысла. Тогда должно выполняться условие

, т.к. и .

Наиболее вероятная скорость — это скорость, которой обладает наибольшее число молекул газа.

¨ Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

.

Действительно, . Подставив сюда , получим .Значения средней арифметической скорости больше наиболее вероятной, но меньше средней квадратичной скорости: .

 

Барометрическая формула

Атмосфера Земли существует за счет земного притяжения молекул воздуха и их теплового движения.

 

¨ Барометрическая формула — это закон изменения атмосферного давления с высотой

.

Здесь — давление на высоте , — молярная масса воздуха, ускорение свободного падения, R — универсальная газовая постоянная. Эта формула позволяет вычислить давление на заданной высоте и, наоборот, по известному давлению определять высоту.

¨ Вывод барометрической формулы.

Полагаем, что атмосфера представляет собой идеальный газ с одинаковой массой всех его молекул. Ускорение свободного падения и температура не зависят от высоты.

Давление столба газа (жидкости) высотой h: . При увеличении высоты на атмосферное давление уменьшится на , следовательно: .

Выразим плотность из уравнения Клапейрона-Менделеева . Тогда , или . Полагая , интегрируем обе части уравнения, считая, что с изменением высоты от до давление меняется от до :

. Воспользовавшись определением логарифма, получим барометрическую формулу.

¨ Распределение Больцмана для внешнего потенциального поля: при постоянной температуре плотность ( — концентрация) газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул

.

Действительно, т.к. уравнение состояния , где — концентрация молекул на высоте , то барометрическая формула принимает вид: . Распределение Больцмана получим, преобразуя показатель степени и учитывая, что и : , где — потенциальная энергия молекулы.

Распределение Максвелла — распределение молекул по значениям кинетической энергии, а распределение Больцмана — по значениям потенциальной энергии.

 

Явления переноса

Процессы, протекающие в неравновесных газовых системах, носят необратимый характер. К таким процессам относятся явления переноса: диффузия, теплопроводность и внутреннее трение. Любая система при нормальных условиях состоит из огромного числа ( — число Лошмидта) молекул диаметром м.

 

¨ Среднее число столкновений молекулы газа за единицу времени

определяется количеств ом молекул, находящихся (рис. 8.4) в цилиндре объемом , т.е. , где — диаметр и — средняя арифметическая скорость молекулы, п — концентрация молекул. С учетом движения остальных молекул число столкновений увеличится в .

Здесь учтено, что образующая цилиндра (рис. 8.4) равна расстоянию, проходящему молекулой за одну секунду, т.е. численно равна средней арифметической скорости. При нормальных условиях м/с и за с молекула претерпевает столкновений.

¨ Средняя длина свободного пробега молекулы — это расстояние, пройденное между двумя последовательными соударениями

.

Считая, что за 1с молекула пройдет путь, равный средней арифметической скорости , испытав при этом соударений, получаем искомое соотношение. При нормальных условиях м.

¨ Диффузия — это выравнивание плотности системы, обусловленное переносом массы вещества.

Диффузия — самопроизвольное проникновение частиц соприкасающихся веществ друг в друга. При этом происходит перенос вещества из областей с большей концентрацией в области с меньшей концентрацией молекул. Рассмотрим простейший одномерный случай диффузии, когда плотность газа меняется только вдоль одной координаты: . Ось ориентирована в направлении переноса.

Явление диффузии для однородного газа подчиняется закону Фика:

.

Здесь — плотность потока массы — массы вещества, диффундирующего в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную направлению переноса, т.е. оси ; — коэффициент диффузии.

Коэффициент диффузии зависит от природы газов и физических условий, т.е. давления, температуры системы. Несмотря на огромную скорость молекул газа, диффузия протекает медленно. Это объясняется непрерывными столкновениями молекул, приводящими к зигзагообразному их движению.

— градиент плотности — скорость изменения плотности вдоль направления диффузии. Знак минус означает, что масса переносится в сторону убывания плотности.

¨ Теплопроводность — это выравнивание температуры системы, обусловленное переносом энергии.

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул (температура) больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания кинетических энергий молекул. Осуществляется перенос энергии в форме теплоты. Полагаем, что температура меняется только вдоль одной координаты: .

Теплопроводность подчиняется закону Фурье:

.

Здесь — плотность теплового потока — количество энергии, переносимой в форме теплоты, в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную направлению переноса; — коэффициент теплопроводности.

Коэффициент теплопроводности зависит от природы газа и физических условий: давления, температуры, плотности и молярной теплоемкости при постоянном объеме.

— градиент температуры — скорость изменения температуры в направлении теплопроводности. Знак минус означает, что энергия переносится в направлении убывания температуры.

¨ Внутреннее трение — выравнивание скоростей молекул различных слоев системы, обусловленное переносом импульса.

Внутреннее трение возникает между параллельными слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями. В каждом слое молекулы участвуют в двух движениях: тепловом хаотическом и направленном вместе со слоем. Тепловое движение перебрасывает молекулы из одного слоя в другой. При этом импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее — увеличивается.

Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона:

.

Здесь — плотность потока импульса — полный импульс, переносимый в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную направлению переноса; — коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость); — градиент скорости. Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости, — скорость слоя газа существенно меньше скорости теплового движения молекул.

Процессы переноса переводят материю в состояние предельной дезорганизации (хаоса), которым является термодинамическое равновесие.

 

Глава 9

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Термодинамика изучает наиболее общие свойства физических систем, не рассматривая внутреннее микроскопическое строение вещества. В основе термодинамики лежат фундаментальные законы или начала, установленные в результате обобщения экспериментальных данных.

 

Внутренняя энергия

¨ Число степеней свободы — это число независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве.

Материальная точка, движущаяся вдоль одной оси координат, имеет одну степень свободы. Материальная точка на плоскости имеет две степени свободы, т.к. для определения ее положения нужно знать две координаты и .

· Одноатомная молекула (рис. 9.1) имеет , т.к. это материальная точка, способная двигаться вдоль осей .

· Двухатомная молекула (рис. 9.2) имеет , т.к. состоит из 2-х жестко связанных материальных точек, способных двигаться вдоль трех координатных осей и вращаться вокруг двух — (вращение вокруг третьей оси лишено смыслы, т.к. момент инерции );

· Многоатомная молекула обладает — три поступательных и три вращательных.

¨ Закон равнораспределения энергии по степеням свободы:на каждую степень свободы

молекулы приходится в среднем кинетическая энергия , где — постоянная Больцмана, R — газовая постоянная, N_A — число Авогадро.

¨ Внутренняя энергия идеального газа U — это кинетическая энергия поступательного и вращательного движения всех его молекул.

.

Т.к. для N молекул газа счислом степеней свободы , где — количества вещества, т.е. число молей газа.

Внутренняя энергия системы зависит только от абсолютной температуры . В общем случае внутренняя энергия — это энергия теплового хаотического движения микрочастиц системы, а также энергия взаимодействия этих частиц. Поскольку молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой на расстоянии, то их потенциальная энергия равна нулю. Колебательные движения молекул идеального газа не учитываются, т.к. считается, что атомы молекул жестко связаны между собой.