Второй закон Ньютона для вращательного движения

Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси.

¨ Момент силы — мера силового взаимодействия между телами при вращательном движении.

Момент силы является аналогом силы при поступательном движении тел.

¨ Модуль момента силы равен произведению силы на плечо

,

где — плечо силы — длина перпендикуляра (рис. 4.1), опущенного от оси вращения на линию действия силы.

Момент силы, вращающий тело против хода часовой стрелки (рис. 4.1), считается положительным, по ходу — отрицательным.

Единица вращающего момента — ньютон на метр, (Н∙м).

Момент силы является псевдовектором и направлен вдоль оси вращения (рис. 4.1) в соответствие с правилом правого винта.

¨ Результирующий момент внешних сил равен векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на тело

.

¨ Момент инерции I является мерой инертности тел во вращательном движении и зависит от массы тела и ее распределения относительно оси вращения.

• Момент инерции материальной точки массой , вращающейся по окружности радиуса

.

• Момент инерции твердого тела относительно заданной оси равен сумме моментов инерции всех составляющих его материальных точек

,

где — масса -ой материальной точки и — расстояние от нее до оси вращения.

• Момент инерции кольца или полого цилиндра массой и радиусом относительно оси симметрии

.

Действительно, для всех материальных точек , следовательно

.

 

• Момент инерции диска или сплошного цилиндра массой и радиусом относительно оси симметрии

.

Поскольку в диске по сравнению с кольцом часть массы смещена к оси вращения, то его момент инерции уменьшается.

• Момент инерции шара массой и радиусом относительно оси, проходящей через центр

.

• Момент инерции стержня массой и длинной относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину

.

¨ Теорема Штейнера: момент инерции тела (рис. 4.2) относительно произвольной оси , параллельной оси симметрии , равен сумме момента инерции тела относительно оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

.

¨ Второй закон Ньютона для вращательного движения: угловое ускорение , приобретаемое телом, пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Вектор углового ускорения (рис. 4.3) направлен вдоль вектора результирующего момента сил.

Используя аналогию поступательного и вращательного движений, можно заключить, что вызываемое у тел ускорение пропорционально мере взаимодействия между телами () и обратно пропорционально мере инертности тел.

¨ Вывод второго закона Ньютона для вращательного движения.

На материальную точку (рис. 4.4) массой , способную вращаться по окружности радиуса , действует сила . Согласно второму закону Ньютона тело под действием тангенциальной составляющей силы приобретает ускорение . Учитывая, что и (формула связи тангенциального и углового ускорений), получаем . Умножим на обе части уравнения

,

где — момент силы, — момент инерции материальной точки.