Поступательного и вращательного движений

Поступательное движение

Вращательное движение

КИНЕМАТИКА

положение тела в пространстве

— радиус вектор

— угловая координата

скорость

— скорость

— угловая скорость

ускорение

— ускорение

— угловое ускорение

ДИНАМИКА

мера инертности тел

— масса

— момент инерции

мера взаимодействия тел

— сила

— момент силы

мера количества механического движения

— импульс

— момент импульса

основной закон динамики (второй закон Ньютона)

закон сохранения количества движения

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

элементарная механическая работа

мощность

кинетическая энергия

 

 

Глава 5

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (СТО)

СТО описывает эффекты, проявляющиеся при движении тел со скоростями близкими к скорости света в вакууме .

 

Принцип относительности Галилея

¨ Преобразования Галилея — это преобразования координат точки и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Система движется (рис. 5.1) вдоль оси ОХ инерциальной системы с постоянной скоростью много меньшей скорости света. В начальный момент времени координаты точки М в обеих системах отсчета совпадают . В классической механике считается, что время во всех системах отсчета идет одинаково . Преобразования Галилея (см. рис. 5.1) имеют вид

, или .

¨ Преобразования скоростей при переходе от одной инерциальной системы к другой

.

Действительно, дифференцируя преобразования Галилея по времени , получаем известный закон сложения скоростей в классической механике, согласно которому скорость является относительной величиной, зависящей от выбора системы отсчета.

¨ Ускорение точки в обеих инерциальных системах одинаково

.

Это соотношение получим, дифференцируяпреобразования скоростей и учитывая, что . Т.к. ускорение не зависит от выбора инерциальной системы отсчета, и масса тела в любой из систем не меняется , то и сила , действующая на тело, будет одинакова в любой инерциальной системе отсчета.

¨ Принцип относительности Галилея: одни и те же механические процессы в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаково, а законы механики имеют тождественный вид.

Или другими словами: никакими механическими опытами, проводимыми в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится ли корабль или движется, не выглянув в окно.

 

Постулаты СТО

Исследования показали, что движение частиц со скоростями не подчиняется законам классической механики, а преобразования Галилея при этом не выполняются. Для объяснения экспериментальных результатов была создана специальная теория относительности, базирующаяся на двух постулатах, сформулированных Эйнштейном.

 

¨ Принцип относительности Эйнштейна: никакими физическими опытами (механическими, электрическими, оптическими и т.д.), проводимыми внутри данной инерциальной системы отсчета, нельзя установить движется ли эта система или покоится.

Т.е. все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Первый постулат Эйнштейна является обобщением механического принципа относительности Галилея.

¨ Принцип постоянства (инвариантности) скорости света: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения ни источника света, ни наблюдателя.

На основе этих постулатов Эйнштейн выводит формулы преобразования координат и времени, а так же получает относительность длин объектов и относительность одновременности событий.

 

§5.3. Преобразования Лоренца

¨ Преобразования Лоренца — это связь между координатами в неподвижной системе с координатами в системе , движущейся вдоль оси ОХ с постоянной скоростью .

В начальный момент времени координаты точки М в обеих системах отсчета совпадали .

, ,

.

Из преобразований Лоренца следует, что физические процессы должны описываться с учетом времени, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространственные координаты. Установленная взаимосвязь пространства и времени позволяет говорить о четырехмерном пространстве-времени.

¨ Следствия из преобразований Лоренца:

• Движение тел со скоростями большими скорости света невозможно,

т.к. при подкоренное выражение становится мнимым и, следовательно, выражения для теряют физический смысл.

• При скоростях существенно меньших скорости света в вакууме преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Действительно, если , то

¨ Закон сложения скоростей в релятивистской механике

.

Из преобразований Лоренца выразим дифференциалы и :

. Т.к. , то

.

¨ Лоренцево сокращение длины.

Из преобразований Лоренца следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета со скоростью , уменьшается в направлении движения. В направлениях, перпендикулярных движению, размеры тела не меняются.

Свяжем с движущимся стержнем систему отсчета (рис. 5.2):

 

,

где — наибольшая длина стержня в системе , относительно которой он покоится, — длина стержня в системе отсчета .

Линейные размеры тела относительны. Они максимальны в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится. Эти размеры называются собственными размерами.

¨ Релятивистское замедление времени.

События, происходящие в одной и той же точке движущейся системы с интервалом , в покоящейся системе происходят в разных точках на расстоянии , где — интервал времени между событиями в системе .

С учетом преобразований Лоренца получаем

или

.

Промежутки времени, измеряемые часами, движущимися вместе с объектом, называются собственным временем этого объекта. Неподвижные часы () идут быстрее движущихся (). Все процессы в движущейся системе протекают медленнее, чем в неподвижной.

 

Релятивистская динамика

Согласно принципу относительности Эйнштейна любой закон физики должен быть инвариантным, т.е. записываться одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Это возможно при условии, что масса движущихся частиц является нелинейной функцией скорости .

¨ Масса релятивистской частицы — масса частицы, движущейся со скоростью , соизмеримой со скоростью света в вакууме .

,

где — масса покоя частицы.

Из приведенного соотношения следует, что при масса частицы неограниченно увеличивается. Следовательно, неограниченно возрастает ее инертность и энергия, необходимая для увеличения скорости.

¨ Релятивистский импульс

.

В этом случае основное уравнение динамикиостается инвариантным относительно инерциальных систем.

¨ Основной закон релятивистской динамики

.

Следует отметить, что ни импульс, ни сила сами по себе не являются инвариантными величинами.

¨ Закон взаимосвязи массы и энергии Эйнштейна: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме

.

Здесь: — энергия покоя, т.е. внутренняя энергия тела.

¨ Вывод релятивистской энергии тела.

Кинетическая энергия тела может увеличиться за счет работы внешней силы, т.е. . Т.е.

.

Т.о., .

Т.к. , то

.

Т.о., .

Подставив это выражение в , получим

,

или .

Т.о., энергия неограниченно возрастает при .

Представленный закон определяет взаимосвязь массы и энергии. Масса — мера энергии, заключенной в телах. Если меняется энергия тела, меняется его масса. Энергию покоя можно трактовать, как полную внутреннюю энергию тела, а как его кинетическую энергию.