Кинематика вращательного движения твердого тела

Абсолютно твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается неизменным, т.е. абсолютно твердое тело не деформируется.

¨ Вращательное движение — движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой (рис. 1.17), называемой осью вращения.

Ниже представлены кинематические характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, имеющие такой же физический смысл, как и соответствующие им характеристики поступательного движения.

¨ Угловая координата — это угол поворота тела относительно некоторого условно выбранного начального положения. Единица угла в СИ — радиан (рад).

¨ Кинематическое уравнение вращательного движения — это зависимость угла поворота от времени, позволяющая определить положение тела в любой момент

.

¨ Угловая скорость характеризует быстроту вращения тела и равна первой производной угла поворота по времени

.

При вращательном движении все точки тела за одно и тоже время сместятся на одинаковый угол. Следовательно, для всех точек твердого тела угловая скорость одинакова. Единица угловой скорости — радиан в секунду (рад/с).

¨ Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости и равно первой производной угловой скорости по времени

.

Формулы угловой координаты и угловой скорости равнопеременного и равномерного вращения аналогичны формулам для поступательного движения.

¨ Равнопеременное вращательное движение происходит с постоянным угловым ускорением . Угловая скорость и угловая координата в момент времени

,

,

где — начальная угловая скорость в момент времени .

¨ Равномерное вращение происходит с постоянной угловой скоростью . Угловое ускорение , угол поворота пропорционален времени

.

¨ Период вращения Т — время одного оборота. Частота — число оборотов в единицу времени. Эти характеристики равномерного вращательно движения связаны соотношением:

.

Единица частоты — секунда в минус первой степени ().

¨ Связь угловой скорости периода и частоты вращения.

.

Действительно, за один оборот угол поворота составит , а время . Угловая скорость .

¨ Кинематические характеристики вращательного движения — псевдовекторы.

Вектор элементарного поворота направлен вдоль оси вращения (рис. 1.11), модуль которого равен углу поворота . Направление вектора определяется поступательным движением правого винта, вращающегося вместе с телом (правило буравчика). При вращении тела против хода часовой стрелки угол поворота считается положительным, по ходу — отрицательным. Векторы, направление которых связывается с направлением вращения, называются псевдовекторамиили аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения и могут откладываться из любой точки оси вращения.

Вектор угловой скорости сонаправлен (рис. 1.11) вектору поворота , т.к.

.

Вектор углового ускорения при ускоренном вращении сонаправлен угловой скорости , при замедленном — противонаправлен (рис. 1.11), т.к.

.

¨ Задача 4. Уравнение вращательного движения тела имеет вид: , где коэффициенты заданы в СИ. Движение рассматривается во времени от , .

Задание:

1. Построить график , то есть зависимость угла от времени в интервале времени .

2. Определить аналитически угловую скорость .

3. Построить график в интервале времени .

4. Определить аналитически угловое ускорение .

5. Построить график в интервале времени .

Решение:

1. Воспользовавшись уравнением движения , определить значения угла j в интервале времени от до (см. таблицу):

 

t (с)		0,5		1,5		2,5		3,5
j (рад)		1,75		8,25		8,75		–8,75

 

 

Масштаб по координатным осям (рис. 1.12) выбрать с учетом предельных значений времени , и угла рад, рад.

Построение графика. Нанести на координатную сетку точки пересечения значений времени и соответствующих им значений угла. Соединить нанесенные точки плавной линией (рис. 1.12).

2. Угловая скорость — это первая производная угла поворота j по времени: . Учитывая, что находим или

3. Чтобы построить график надо определить значения угловой скоростииз соотношения для моментов времени от до (см. табл.):

 

t (с)		0,5		1,5		2,5		3,5
w (рад/с)		5,5		5,5		–6,5	–17	–30,5

 

При выборе масштаба по координатным осям и ограничимся (для компактности графика) следующими предельными значениями: времени: , и угловой скорости: рад/с, рад/с. Замечание: масштаб для j и w может не совпадать.

Нанести на координатную сетку точки пересечения значений времени и соответствующих им значений угловой скорости (рис. 1.12). Соединить нанесенные точки плавной линией.

4. Угловое ускорение — первая производная угловой скорости по времени:

5. Определить из соотношения (см. п. 4) значения углового ускорения:

 

t (с)		0,5		1,5
b (рад/с^2)				–6

Построить график (см. рис. 1.12).