Кинематические уравнения поступательного движения

МЕХАНИКА

Механика изучает закономерности механического движения

и взаимодействия тел.

Механическое движение — изменение взаимного расположения тел с течением времени.

 

Глава 1

КИНЕМАТИКА

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины самого движения.

Движение любого тела можно представить в виде комбинации поступательного и вращательного движений. При поступательном движении прямая, проведенная на теле, перемещается параллельно своему первоначальному положению.

 

Скорость

Скорость характеризует быстроту движения, т.е. изменение положения тела в единицу времени. При движении тела меняются координаты, путь и радиус-вектор. Следовательно, должно существовать несколько определений скорости.

¨ Средняя скорость — это вектор, равный отношению перемещения к продолжительности этого перемещения

.

Вектор средней скорости(рис. 1.3) направлен вдоль перемещения.

При движении тела по замкнутой траектории перемещение

, и, следовательно, средняя скорость .

¨ Мгновенная скорость — это первая производная радиус-векторапо времени

.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории (рис. 1.3) в сторону движения тела.

Действительно, перемещение при уменьшении уменьшается (рис. 1.3) и при совпадет со стягиваемой дугой, т.е. будет направлен по касательной к траектории.

Мгновенная скорость — это скорость в данный момент времени и равна предельному значению средней скорости (рис. 1.3) при неограниченном уменьшении промежутка времени .

¨ Проекции мгновенной скорости (рис. 1.4) на оси координат — это первые производные соответствующих координат по времени

.

Т.к. при движении меняются координаты тела, то можно указать скорости изменения этих координат, т.е. найти проекции мгновенной скорости на оси координат. Действительно, дифференцируя по времени принцип суперпозиции, получаем

, или

.

¨ Модуль мгновенной скорости определяется (рис. 1.4) с использованием значений проекций скорости

.

¨ Закон сложения скоростей: если тело одновременно участвует в нескольких движениях со скоростями , то его результирующая скорость равна векторной сумме этих скоростей

.

¨ Средняя путевая скорость — это отношение пути к его продолжительности

.

Единица скорости в СИ — метр в секунду (м/с).

¨ Путевая (скалярная) скорость — это первая производная длины пути по времени

.

Путевая скорость равна модулю мгновенной скорости. Т.к. , то .

¨ Задача 2. Использовать условие задачи 1.

Задание 1. Определить среднюю скорость в интервале времени .

Решение. По определению средняя скорость . С учетом значений и получаем . Направление средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения (рис. 1.2).

Задание 2. Определить мгновенную скорость в момент времени .

Решение. По определению мгновенная скорость и направлена по касательной к траектории. В момент времени вектор является касательной в точке с координатами (см. таблицу) , (рис. 1.2). Модуль мгновенной скорости определятся по теореме Пифагора: , где , — проекции скорости на оси x и y. Для момента времени проекции скорости принимают значения: , (м/с) (знак минус указывает на то, что направлена в противоположную сторону положительному направлению оси y). Т.о., модуль мгновенной скорости (рис.1.7).

 

Ускорение

Ускорение — это быстрота изменения скорости. При движении скорость тела может меняться как по величине — разгон, торможение, так и по направлению — поворот. Характеристикой изменения скорости движения тела со временем является ускорение. Аналогично скоростям вводятся следующие ускорения.

¨ Мгновенное ускорение — это вектор, равный первой производной скорости ,или второй производной радиус вектора по времени

.

Здесь учтено, что . Поэтому .

Единица ускорения — метр на секунду в квадрате (м/с²).

¨ Проекции вектора ускорения на оси координат равны первым производным соответствующих проекций скоростей или вторым производным соответствующих координат по времени

.

Действительно, разложив ускорение на составляющие по осям декартовой системы координат аналогично радиус-вектору или мгновенной скорости, получим , где — проекции вектора ускорения.

¨ Модуль вектора ускорения определяется по теореме Пифагора

.

¨ Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения.

В общем случае, ускорение направлено (рис.1.5) произвольно вектору скорости . Его удобно представлять двумя составляющими

.

Тангенциальное ускорение направлено вдоль (против) вектора скорости и характеризует быстроту изменения скорости по величине. Модуль тангенциального ускорения

Нормальное ускорение направлено перпендикулярно вектору скорости к центру кривизны траектории и характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Модуль нормального ускорения

,

где — радиус кривизны траектории, или радиус соприкасающейся окружности.

¨ Вывод формулы модуля нормального ускорения.

Пусть материальная точка движется по окружности

радиусом (рис.1.6) с постоянной по величине скоростью

.

Изменение скорости по направлению за время найдем, осуществив параллельный перенос вектора . Указанные треугольники (рис.1.6) подобны, поскольку являются равнобедренными с равными углами , образованными взаимно перпендикулярными сторонами. Из подобия треугольников находим, что , или . Разделив на обе части, получим нормальное ускорение , или

.

¨ Задача 3. Использовать условие задачи 1.

Задание. Рассчитать полное тангенциальное и нормальное ускорения в момент времени .

Решение. Полное ускорение где и — проекции ускорения на оси x и y. Учитывая, что и (см. задачу 2), получаем: и . Полное ускорение .

Для определения тангенциального и нормального ускорений необходимо представить схему скоростей (рис. 1.7). Здесь же указать полное ускорение, которое

 

направлено вертикально вниз, поскольку а имеет отрицательную величину. Тангенциальное и нормальное ускорения являются составляющими полного ускорения и направлены соответственно вдоль и перпендикулярно вектору мгновенной скорости (рис. 1.7). Отмеченные углы равны как накрест лежащие. Из подобия выделенных треугольников следует, что и Подставив значения ускорения и скоростей для момента времени : , , , , получим: , . Проверка: .

 

Прямолинейное движение

Прямолинейным называется движение, при котором нормальное ускорение .

¨ Равнопеременное движение — движение, при котором тангенциальное ускорение . Если , то движение называется равноускоренным, если — равнозамедленным.

¨ Скорость тела при равнопеременном движении

.

Здесь полагаем, что проекция начальной скорости — скорости в момент времени совпадает с направлением выбранной оси, например . Для компактности формул индексы скоростей и ускорений не указаны.

По определению проекция ускорения . Интегрируя , получаем . Отсюда — скорость в момент времени .

¨ Кинематическое уравнение равнопеременного движения

.

Действительно, проекция скорости Учитывая, что , получаем . Интегрируя , имеем , или — координата движущейся материальной точки в момент времени , где — начальная координата при .

¨ Равномерное движение — движение, при котором тангенциальное ускорение и, следовательно, скорость тела

и его координата

.

¨ Графическое представление кинематических характеристик (рис. 1.8, 1.9, 1.10).

 

 

 

Глава 2

Первый закон Ньютона

¨ Первый закон Ньютона: тело покоится или движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока на него не подействуют другие тела.

Стремление тела сохранять свою скорость называется инертностью, а движение тела, свободного от воздействия других тел, — движением по инерции.

Первый закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета — системах, вектор скорости которых не меняется с течением времени.

¨ Инерциальная система отсчета — это система, в которой выполняется первый закон Ньютона, т.е. свободная материальная точка либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

Любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно некоторой инерциальной системы, также является инерциальной. Можно заключить, что инерциальных систем множество. Все инерциальные системы эквивалентны. Однако в одних инерциальных системах тело может покоиться, в других двигаться. Следовательно, механическое движение относительно.

Системы отсчета, движущиеся с ускорением, называются неинерциальными, например, тормозящий автобус.

В дальнейшем мы будем использовать только инерциальные системы отсчета.

¨ Инертность — способность тела сохранять свою скорость.

Действительно, чем труднее изменить скорость тела, тем более инертным оно считается. Вместе с тем, труднее всего изменить скорость наиболее массивного тела.

¨ Масса — это мера инертности тела при поступательном движении. Единица массы в СИ — килограмм (кг).

Масса — аддитивная величина, т.е. масса системы равна сумме масс тел, входящих в эту систему.

 

Силы в механике

В современной физике все взаимодействия сводятся к четырем фундаментальным. Это гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое взаимодействия. Сильное взаимодействиеобеспечивает внутриядерные связи и является самым сильным в природе. Слабое взаимодействиеприсуще всем частицам, кроме фотона, и определяет радиоактивный распад и реакции термоядерного синтеза. Механические явления в макроскопическом масштабе определяются гравитационным и электромагнитным взаимодействиями.

¨ Гравитационное взаимодействие обеспечивает притяжение между любыми телами и является универсальным.

¨ Закон всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс и этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними

,

где — гравитационная постоянная.

¨ Сила тяжести — это гравитационная сила, сообщающая телу вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения . Согласно второму закону Ньютона

.

¨ Электромагнитное взаимодействие существует только между заряженными частицами, связывая электроны и ядра в атомах, объединяя атомы и молекулы в различные вещества. Силы упругости и трения возникают при изменении межмолекулярной структуры взаимодействующих тел и являются следствием электромагнитного взаимодействия.

¨ Закон трения скольжения: сила трения скольжения (рис. 2.4) возникает между поверхностями соприкасающихся тел, препятствует их относительному движению и прямо пропорциональна силе реакции опоры

,

где — коэффициент трения скольжения, зависящий от материала соприкасающихся тел и качества обработки их поверхностей. Сила реакции опоры согласно третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормального давления тела на плоскость.

¨ Закон Гука:сила упругости (рис. 2.5), стремящаяся вернуть тело в исходное состояние, пропорциональна удлинению пружины :

,

где — начальная и — конечная длина пружины, , знак минус означает, что сила упругости направлена противоположно удлинению, — коэффициент жесткости, зависящий от упругих свойств материала и размеров пружины.

 

Закон сохранения импульса

Введем новую физическую величину — меру количества механического движения.

¨ Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы т тела на его скорость

.

Векторы и сонаправлены. Единица импульса — килограмм∙метр в секунду ().

¨ Основной закон динамики поступательного движения материальной точки: скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе

.

По второму закона Ньютона .

Т.к. ускорение , то . Учитывая, что масса постоянная величина, ее можно внести под знак производной . Полученное соотношение является уравнением движения тела.

¨ Механическая система — это совокупность материальных точек (тел), взаимодействующих между собой с силами, которые называются внутренними силами. Внешние силы — это силы, с которыми внешние тела воздействуют на тела системы.

¨ Импульс системы п тел массами ,и скоростями равен векторной сумме импульсов отдельных тел:

.

¨ Замкнутая (изолированная) система — система, на которую не действуют внешние силы.

¨ Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел не меняется с течением времени

.

Рассмотрим две налетающие друг на друга материальные точки. При взаимодействии согласно третьему закону Ньютона . С учетом основного закона динамики и получаем , или . Производная будет равна нулю, если . Обобщив полученный результат на тел, получим искомое соотношение — закон сохранения импульса.

Следует отметить, что никаких ограничений на обмен импульсами между телами системы нет: одни частицы могут увеличивать свой импульс, другие уменьшать, но суммарный импульс замкнутой системы не меняется.

¨ Центр масс (инерции) системы п материальных точек — это воображаемая точка С, радиус - вектор которой определяется выражением

,

где — масса и радиус - вектор -ой точки соответственно, — масса системы.

¨ Закон движения центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка массой под действием силы

.

Здесь — результирующая внешних сил, приложенных к системе.

Найдем скорость центра масс . Отсюда следует — импульс системы равен импульсу центра масс. Подставив импульс центра масс в основной закон динамики, получим искомое соотношение — закон движения центра масс.

¨ Импульс силы — это произведение силы на время её действия

.

Это соотношения следует из основного закона динамики и показывает, что изменение импульса тела равно импульсу силы, действующему на это тело.

 

Глава 3

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Энергия — это количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.

Работа — мера превращения одного вида энергии в другой.

 

Работа и мощность силы

Изменить механическое движение тела и, следовательно, его энергию можно лишь под действием силы. Количественной мерой действия силы является работа, которая зависит от величины, направления силы и перемещения тела.

¨ Элементарная работа силы на малом перемещении — это скалярное произведение на

.

Здесь — угол (рис. 3.1) между векторами и , — проекция силы на направление перемещения , — элементарный путь, пройденный за время ,

Единица работы — джоуль (Дж), 1Дж=1Н∙м.

¨ Работа — скалярная величина, знак которой зависит от :

если , то — работа силы тяги всегда положительна, если , то — работа сил сопротивления всегда отрицательна, если , то — работа центростремительных сил или сил реакции опоры равна нулю.

¨ Работа на конечном участке траектории находится алгебраическим суммированием (интегрированием) элементарных работ на всем пути

.

Для вычисления этого интеграла необходимо знать зависимость силы (рис. 3.2) от пути на участке 1-2 траектории.

¨ Графическое вычисление работы. Работа численно равна площади (рис. 3.2) криволинейной трапеции s ₁ abs _2.

— проекция силы на направление движения, — дуговаякоордината материальной точки, отсчитываемая вдоль траектории.

Одну и ту же работу можно выполнить за разное время. Быстрота совершения работы называется мощностью.

¨ Мощность N— это работа, совершаемая в единицу времени

.

Единица мощности — ватт (Вт), 1Вт=1Дж/с.

¨ Мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения

.

Т.к. , то , где — угол между векторами силы и скорости .

Мощность, как и механическая работа — скалярная величина. Работа и мощность силы зависят от выбора системы отсчета.

 

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия представляет один из видов механической энергии.

¨ Кинетическая энергия — это энергия механического движения тела (системы).

Для тела массой т,движущегося со скоростью

.

Для системы материальных точек

,

где — масса, — скорость -ой частицы.

Кинетическая энергия, как и скорость, величина относительная и зависит от выбора системы отсчета. Единица кинетической энергии — джоуль (Дж).

¨ Теорема о кинетической энергии: работа внешней силы равна изменению кинетической энергии тела:

.

Доказательство. Пусть скорость тела (рис. 3.3) массой под действием силы увеличилась от до . Найдем работу силы .

По определению . Т.к. (рис. 3.3) и , то . Учитывая, что ускорение , получаем , или

.

Т.о., изменить кинетическую энергию тела можно только за счет работы, совершаемой внешней силой.

 

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия — это один из видов механической энергии.

¨ Потенциальная энергия U — энергиявзаимодействия тел, зависящая от их расположения в силовом поле.

Силовыми являются, например, гравитационные и электромагнитные поля, в которых на тело в каждой точке пространства действует определенная сила.

¨ Консервативные силы — силы,работа которых не зависит от вида траектории движения, а определяется только начальным и конечным положениями тела. Поле, в котором действуют только консервативные силы, называется потенциальным полем.

Потенциальным является поле сил тяжести Земли, электростатическое поле. К неконсервативным или диссипативным силам относятся, например, силы трения. Работа диссипативных сил уменьшает механическую энергию, переводя ее в другие виды, например, во внутреннюю энергию.

¨ Потенциальная энергия тела массой т на высоте h над поверхностью Земли

,

где — ускорение свободного падения. Единица потенциальной энергии — джоуль (Дж).

Потенциальная энергия зависит от выбора системы отсчета и может иметь отрицательное значение. Так если принять за нуль потенциальную энергию тела на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела на дне шахты будет отрицательной.

¨ Сила тяжести является консервативной.

Доказательство.

Найдем работу силы тяжести (рис. 3.4) при перемещении тела из в вдоль произвольной траектории.

. Т.к. ,

то .

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории движения и определяется только начальной и конечной высотой. Следовательно, сила тяжести является консервативной. Из полученного выражения следует, что работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю.

¨ Работа консервативных сил равна уменьшению потенциальной энергии тела.

Действительно, т.к. , то соотношение предыдущего пункта принимает вид . Или . Знак минус указывает на то, что потенциальная энергия уменьшается.

¨ Связь консервативной силы и потенциальной энергии.

.

Знак минус означает, что сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии.

Доказательство. Пусть частица находится в поле консервативных сил (например, в гравитационном), и ее потенциальная энергия зависит только от одной координаты . По определению работа . С другой стороны . Из указанных соотношений следует — консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии с обратным знаком (градиент — скорость изменения потенциальной энергии в пространстве).

¨ Потенциальная энергия деформированной пружины

Доказательство. Т.к. , то . По закону Гука , тогда . Интегрируя полученное соотношение, найдем потенциальную энергию пружины с учетом изменения ее длины от до : . Здесь — жесткость, —удлинение пружины.

 

Закон сохранения энергии

¨ Закон сохранения механической энергии : полная энергия системы, в которой действуют только консервативные силы, не меняется с течением времени

.

В представленном законе — это кинетическая энергия, и — потенциальная энергия всех тел системы соответственно.