Второй и третий законы Ньютона

Ранее выяснили, что тело может изменить свою скорость только под воздействием на него других тел. Всякое воздействие в физике заменяется понятием силы, которая является характеристикой действия одних тел на другие.

¨ Сила — это векторная величина, являющаяся мерой взаимодействия между телами при поступательном движении.

Сила полностью определена, если известны её модуль, направление и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлен вектор силы, называется линией действия силы.

¨ Сложение сил: если на материальную точку (рис. 2.1) действуют несколько сил , то их можно заменить результирующей силой , равной векторной сумме

.

В дальнейшем под силой, действующей на тело, будем подразумевать результирующую всех сил.

¨ Второй закон Ньютона: ускорение , приобретаемое телом, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе т этого тела

.

Вектор ускорения всегда направлен вдоль линии действия силы .

Из представленного соотношения следует, что . Эта формула позволяет определить силу, действующую на тело при решении задач и представить единицу силы: — ньютон (Н); .

¨ Тангенциальная и нормальная составляющие силы.

В общем случае сила , действующая на движущееся тело (рис. 2.2), может быть разложена на тангенциальную и нормальную составляющие, модули которых согласно второму закону Ньютона имеют вид: изменяет скорость тела по величине, изменяет скорость тела по направлению. Здесь и — тангенциальное и нормальное ускорения соответственно.

¨ Третий закон Ньютона: два тела взаимодействуют между собой (рис.2.3) с равными по величине, противоположно направленными силами, приложенными к разным телам

.

Так, налетающие друг на друга шары (рис.2.3), несмотря на различие их масс, и скоростей, при соударении будут воздействовать друг на друга с равными по величине силами.

Следует отметить, что при взаимодействии нескольких тел третий закон Ньютона справедлив только для каждой пары тел. В этой связи вопрос, почему трактор тянет плуг, а не наоборот? Действительно, трактор и телега взаимодействуют между собой с равными по величине силами. Однако трактор отталкивается от земли с большей силой, нежели с ней взаимодействует плуг.

 

Силы в механике

В современной физике все взаимодействия сводятся к четырем фундаментальным. Это гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое взаимодействия. Сильное взаимодействиеобеспечивает внутриядерные связи и является самым сильным в природе. Слабое взаимодействиеприсуще всем частицам, кроме фотона, и определяет радиоактивный распад и реакции термоядерного синтеза. Механические явления в макроскопическом масштабе определяются гравитационным и электромагнитным взаимодействиями.

¨ Гравитационное взаимодействие обеспечивает притяжение между любыми телами и является универсальным.

¨ Закон всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс и этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними

,

где — гравитационная постоянная.

¨ Сила тяжести — это гравитационная сила, сообщающая телу вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения . Согласно второму закону Ньютона

.

¨ Электромагнитное взаимодействие существует только между заряженными частицами, связывая электроны и ядра в атомах, объединяя атомы и молекулы в различные вещества. Силы упругости и трения возникают при изменении межмолекулярной структуры взаимодействующих тел и являются следствием электромагнитного взаимодействия.

¨ Закон трения скольжения: сила трения скольжения (рис. 2.4) возникает между поверхностями соприкасающихся тел, препятствует их относительному движению и прямо пропорциональна силе реакции опоры

,

где — коэффициент трения скольжения, зависящий от материала соприкасающихся тел и качества обработки их поверхностей. Сила реакции опоры согласно третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормального давления тела на плоскость.

¨ Закон Гука:сила упругости (рис. 2.5), стремящаяся вернуть тело в исходное состояние, пропорциональна удлинению пружины :

,

где — начальная и — конечная длина пружины, , знак минус означает, что сила упругости направлена противоположно удлинению, — коэффициент жесткости, зависящий от упругих свойств материала и размеров пружины.

 

Закон сохранения импульса

Введем новую физическую величину — меру количества механического движения.

¨ Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы т тела на его скорость

.

Векторы и сонаправлены. Единица импульса — килограмм∙метр в секунду ().

¨ Основной закон динамики поступательного движения материальной точки: скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе

.

По второму закона Ньютона .

Т.к. ускорение , то . Учитывая, что масса постоянная величина, ее можно внести под знак производной . Полученное соотношение является уравнением движения тела.

¨ Механическая система — это совокупность материальных точек (тел), взаимодействующих между собой с силами, которые называются внутренними силами. Внешние силы — это силы, с которыми внешние тела воздействуют на тела системы.

¨ Импульс системы п тел массами ,и скоростями равен векторной сумме импульсов отдельных тел:

.

¨ Замкнутая (изолированная) система — система, на которую не действуют внешние силы.

¨ Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел не меняется с течением времени

.

Рассмотрим две налетающие друг на друга материальные точки. При взаимодействии согласно третьему закону Ньютона . С учетом основного закона динамики и получаем , или . Производная будет равна нулю, если . Обобщив полученный результат на тел, получим искомое соотношение — закон сохранения импульса.

Следует отметить, что никаких ограничений на обмен импульсами между телами системы нет: одни частицы могут увеличивать свой импульс, другие уменьшать, но суммарный импульс замкнутой системы не меняется.

¨ Центр масс (инерции) системы п материальных точек — это воображаемая точка С, радиус - вектор которой определяется выражением

,

где — масса и радиус - вектор -ой точки соответственно, — масса системы.

¨ Закон движения центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка массой под действием силы

.

Здесь — результирующая внешних сил, приложенных к системе.

Найдем скорость центра масс . Отсюда следует — импульс системы равен импульсу центра масс. Подставив импульс центра масс в основной закон динамики, получим искомое соотношение — закон движения центра масс.

¨ Импульс силы — это произведение силы на время её действия

.

Это соотношения следует из основного закона динамики и показывает, что изменение импульса тела равно импульсу силы, действующему на это тело.

 

Глава 3

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Энергия — это количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.

Работа — мера превращения одного вида энергии в другой.

 

Работа и мощность силы

Изменить механическое движение тела и, следовательно, его энергию можно лишь под действием силы. Количественной мерой действия силы является работа, которая зависит от величины, направления силы и перемещения тела.

¨ Элементарная работа силы на малом перемещении — это скалярное произведение на

.

Здесь — угол (рис. 3.1) между векторами и , — проекция силы на направление перемещения , — элементарный путь, пройденный за время ,

Единица работы — джоуль (Дж), 1Дж=1Н∙м.

¨ Работа — скалярная величина, знак которой зависит от :

если , то — работа силы тяги всегда положительна, если , то — работа сил сопротивления всегда отрицательна, если , то — работа центростремительных сил или сил реакции опоры равна нулю.

¨ Работа на конечном участке траектории находится алгебраическим суммированием (интегрированием) элементарных работ на всем пути

.

Для вычисления этого интеграла необходимо знать зависимость силы (рис. 3.2) от пути на участке 1-2 траектории.

¨ Графическое вычисление работы. Работа численно равна площади (рис. 3.2) криволинейной трапеции s ₁ abs _2.

— проекция силы на направление движения, — дуговаякоордината материальной точки, отсчитываемая вдоль траектории.

Одну и ту же работу можно выполнить за разное время. Быстрота совершения работы называется мощностью.

¨ Мощность N— это работа, совершаемая в единицу времени

.

Единица мощности — ватт (Вт), 1Вт=1Дж/с.

¨ Мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения

.

Т.к. , то , где — угол между векторами силы и скорости .

Мощность, как и механическая работа — скалярная величина. Работа и мощность силы зависят от выбора системы отсчета.

 

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия представляет один из видов механической энергии.

¨ Кинетическая энергия — это энергия механического движения тела (системы).

Для тела массой т,движущегося со скоростью

.

Для системы материальных точек

,

где — масса, — скорость -ой частицы.

Кинетическая энергия, как и скорость, величина относительная и зависит от выбора системы отсчета. Единица кинетической энергии — джоуль (Дж).

¨ Теорема о кинетической энергии: работа внешней силы равна изменению кинетической энергии тела:

.

Доказательство. Пусть скорость тела (рис. 3.3) массой под действием силы увеличилась от до . Найдем работу силы .

По определению . Т.к. (рис. 3.3) и , то . Учитывая, что ускорение , получаем , или

.

Т.о., изменить кинетическую энергию тела можно только за счет работы, совершаемой внешней силой.

 

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия — это один из видов механической энергии.

¨ Потенциальная энергия U — энергиявзаимодействия тел, зависящая от их расположения в силовом поле.

Силовыми являются, например, гравитационные и электромагнитные поля, в которых на тело в каждой точке пространства действует определенная сила.

¨ Консервативные силы — силы,работа которых не зависит от вида траектории движения, а определяется только начальным и конечным положениями тела. Поле, в котором действуют только консервативные силы, называется потенциальным полем.

Потенциальным является поле сил тяжести Земли, электростатическое поле. К неконсервативным или диссипативным силам относятся, например, силы трения. Работа диссипативных сил уменьшает механическую энергию, переводя ее в другие виды, например, во внутреннюю энергию.

¨ Потенциальная энергия тела массой т на высоте h над поверхностью Земли

,

где — ускорение свободного падения. Единица потенциальной энергии — джоуль (Дж).

Потенциальная энергия зависит от выбора системы отсчета и может иметь отрицательное значение. Так если принять за нуль потенциальную энергию тела на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела на дне шахты будет отрицательной.

¨ Сила тяжести является консервативной.

Доказательство.

Найдем работу силы тяжести (рис. 3.4) при перемещении тела из в вдоль произвольной траектории.

. Т.к. ,

то .

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории движения и определяется только начальной и конечной высотой. Следовательно, сила тяжести является консервативной. Из полученного выражения следует, что работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю.

¨ Работа консервативных сил равна уменьшению потенциальной энергии тела.

Действительно, т.к. , то соотношение предыдущего пункта принимает вид . Или . Знак минус указывает на то, что потенциальная энергия уменьшается.

¨ Связь консервативной силы и потенциальной энергии.

.

Знак минус означает, что сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии.

Доказательство. Пусть частица находится в поле консервативных сил (например, в гравитационном), и ее потенциальная энергия зависит только от одной координаты . По определению работа . С другой стороны . Из указанных соотношений следует — консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии с обратным знаком (градиент — скорость изменения потенциальной энергии в пространстве).

¨ Потенциальная энергия деформированной пружины

Доказательство. Т.к. , то . По закону Гука , тогда . Интегрируя полученное соотношение, найдем потенциальную энергию пружины с учетом изменения ее длины от до : . Здесь — жесткость, —удлинение пружины.

 

Закон сохранения энергии

¨ Закон сохранения механической энергии : полная энергия системы, в которой действуют только консервативные силы, не меняется с течением времени

.

В представленном законе — это кинетическая энергия, и — потенциальная энергия всех тел системы соответственно.

Доказательство. Рассмотрим тело, движущееся под действием только консервативной силы, например, силы тяжести. Работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии . Согласно теореме о кинетической энергии . Из представленных соотношений следует . Т.к. изменение равно нулю, то полная энергия механической системы сохраняется.

В этом законе нет запрета на превращения механической энергии из кинетической в потенциальную и наоборот. Так при падении тела его потенциальная энергия за счет работы силы тяжести уменьшается, а кинетическая — возрастает. Однако полная механическая энергия не меняется.

¨ Диссипация (рассеяние) энергии — уменьшение механической энергии за счет работы

неконсервативных сил трения.

При этом механическая энергия преобразуется в другие формы, например, внутреннюю. Однако полная энергия всех её видов остается неизменной — это закон сохранения энергии в целом.

 

Соударения

Удар или соударение — это кратковременное взаимодействие тел, при котором возникающие силы столь велики, что внешними силами можно пренебречь и рассмотреть соударяющиеся тела как изолированную систему. Удар называется центральным, если тела до удара двигались вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

¨ Абсолютно упругий удар — удар, в результате которого тела восстанавливают свою форму, а кинетическая энергия этих тел не меняется.

Шар массой , двигаясь (рис. 3.5) вдоль оси со скоростью , налетает на покоящийся шар массой . Найдем скорости и шаров после удара.

Запишем законы сохранения кинетической энергии и импульса в проекциях на ось :

,

.

Группируя по массам и указанные выражения, получим

(1),

(2).

Разделив (1) на (2), выразим и подставим в (2):

.

Отсюда находим

.

Из соотношения . Подставим в (2)

¨ Анализ скоростей шаров после абсолютно упругого удара:

· Если массы шаров одинаковы, то после столкновения первый шар остановится , а второй будет двигаться со скоростью .

· Если масса налетающего шара (столкновение со стенкой), то после удара первый шар будет двигаться в противоположном направлении со скоростью , а скорость второго останется без изменения .

При этом изменение импульса первого шара .

¨ Абсолютно неупругий удар — удар, в результате которого тела объединяются и движутся как единое целое, а часть кинетической энергии системы переходит во внутреннюю.

Шар массой , двигаясь вдоль оси со скоростью , налетает на покоящийся шар массой . Найдем скорость шаров после удара. Согласно закону сохранения импульса . Отсюда следует

.

¨ Анализ скорости шаров после абсолютно неупругого удара:

· Если: , то после удара тела будут двигаться со скоростью налетающего шара .

· Если , то , а кинетическая энергия налетающего тела переходит во внутреннюю энергию.

¨ Задача 5. На материальную точку (мт) массой кг действуют две консервативные силы Н, и Н (рис. 3.7). Начальная скорость м/с мт направлена по результирующей силе. Время , с.

Задание 1. Определить ускорение

Решение. Прежде найдем результирующую силу (рис. 3.8). Для этого используем теорему Пифагора:

(Н).

Направление оси x выберем вдоль вектора , полагая при этом, что в начальный момент времени координата (рис. 3.8).

Ускорение определим из второго закона Ньютона:

(м/с²).

Задание 2. Определить скорость и координату мт в моменты времени и .

Решение. Движение мт прямолинейное равноускоренное. Для такого движения скорость определяется по формуле а координата по зависимости где (м/с²) — ускорение и (м/с) — начальная скорость вдоль оси х.

В момент времени (с): (м/с); (м).

В момент времени (с): (м/с); (м).

Задание 3. Определить импульс мт в моменты времени и . Проверить выполнение основного закона динамики.

Решение. Величина импульса тела определяется по формуле . В начальный момент времени : (кг×м/с), в момент времени (с): (кг×м/с). По основному закону динамики: . Или (Н), что совпадает с данными задачи.

Задание 4. Определить работу результирующей силы в интервале времени по формуле механической работы.

Решение. Формула механической работы . В данном случае Н; перемещение за время (с) определяется как (м); угол между силой и перемещением (скоростью) . В итоге получаем: (Дж).

Задание 5. Определить кинетическую энергию мт и в моменты времени и .

Решение. Кинетическая энергия определяется по формуле . В момент времени : (Дж), в момент времени с: (Дж).

Задание 6. Определить работу результирующей силы в заданном интервале времени по теореме о кинетической энергии.

Решение. Теореме о кинетической энергии: (Дж), что совпадает с результатами задания 4.

Задание 7. Определить потенциальную энергию и в моменты времени и .

Решение. Выберем начало отсчета потенциальной энергии в точке полагая . Работа консервативных сил совершается за счет уменьшения потенциальной энергии в данном случае . В результате получаем: (Дж).

Задание 8. Определить механическую энергию мт в моменты времени и Проверить выполнение закона сохранения механической энергии.

Решение. Механическая энергия — это сумма кинетической и потенциальной энергии, поэтому: в момент времени : (Дж);

в момент времени с: (Дж).

Т.о., механическая энергия тела, движущегося в поле консервативных сил, не меняется.

 

Глава 4