Маса та імпульс тіла. Другий закон Ньютона

Основним завданням динаміки є виявлення законів зміни механічного руху тіл під дією прикладених до них сил. З дослідів випливає, що під дією сили раніше вільне тіло змінює швидкість свого руху, отримуючи при-скорення , котре прямо пропорційне діючій силі і співпадає з нею у напрямку: де – позитивний коефіцієнт пропорційності, постій-ний для кожного конкретного тіла, але неоднаковий для різних тіл. Він за-лежить від вибору одиниць виміру сили і прискорення. Під дією сили швид-кість руху тіла змінюється не миттєво, а поступово, тобто тіло має інерт-ність. Як міру інертності тіла в поступальному русі вводять позитивну ска-лярну величину , названу масою тіла. За дії однієї і тієї самої сили при-скорення буде тим меншим, чим більша інертність тіла. Отже, коефіцієнт обернено пропорційний масі тіла: і прискорення буде дорівню-вати:

(4.3)

Можна вибрати таку систему одиниць, у якій ; тоді

(4.4)

За основну одиницю маси в міжнародної системі одиниць прийнятий кілограм (кг), а розмірність одиниці сили визначаємо на підставі рівняння (4.4):

(Ньютон).

У разі малих швидкостей руху маса тіла залишається постійною, незалежно від умов руху.

Добуток маси тіла на швидкість його поступального руху називають кількістю руху або імпульсом тіла . Імпульс тіла – величина векторна і його напрямок співпадає з напрямком швидкості:

(4.5)

За великих швидкостей маса тіла залежить від швидкості руху:

(4.6)

де – маса тіла, що рухається, а – його маса в стані спокою. Масу називають релятивістською масою.

Аналогічно, релятивістський імпульс:

(4.7)

Фізичну суть другого закону механіки, сформульованого Ньютоном, можна виразити таким чином: "Зміна кількості руху пропорційна прикладеній рушійній силі і відбувається в напрямку тієї прямої, по якій ця сила діє”. Якщо в момент часу імпульс тіла був , а в момент часу імпульс тіла став рівним , то зміна імпульсу за час позв'язана з діючою на тіло силою рівнянням:

(4.8)

Для нескінченно малого проміжку часу маємо:

(4.9)

Зміна імпульсу тіла за час дорівнює елементарному імпульсу сили . На підставі рівняння (4.9) можна знайти зміну імпульсу за деякий проміжок часу:

(4.10)

За рівняннями (4.5) та (4.9) отримуємо:

(4.11)

Швидкість зміни імпульсу дорівнює діючій на тіло силі. Це і є найбільш загальною формою вираження другого закону Ньютона. Вона справедлива як у межах ньютонівської механіки, так й у межах релятивістської фізики. Другий закон Ньютона у цій формі виявився справедливим і для мікросвіту. У релятивістській фізиці рівняння (4.11) набирає вигляду:

(4.12)

Якщо вважати, що в ньютонівській механіці , то

(4.13)

Це і є одна з форм запису другого закону Ньютона. Однак сила є причиною виникнення прискорення . Тому, з огляду на причинно-наслідковий зв'я-зок між явищами, здається більш доцільною така форма запису другого за-кону Ньютона:

(4.14)

Прискорення тіла з постійною масою прямо пропорційне діючій на тіло силі й обернено пропорційне масі тіла.

Якщо на тіло діють кілька сил, то прискорення тіла обчислюють за законом адитивності:

(4.15)

Компоненти сили вздовж координатних осей можна представити у вигляді системи рівнянь:

 

(4.16)

 

За відомими компонентами сили можна знайти силу як вектор і її модуль:

(4.17)

Вище викладене справедливо для абсолютно твердого тіла, що вико-нує поступальний рух, та для матеріальної точки.

З другого закону Ньютона у формулі (4.15) при начебто випли-ває перший закон. Здавалося б, що перший закон Ньютона є окремим ви-падком другого закону. Однак він формулюється незалежно від другого, тому що в ньому укладений постулат про існування інерціальних систем відліку, чого не містить другий закон.

Третій закон Ньютона

Досліди показують, що механічний вплив одного тіла на інше являє собою взаємодію: якщо тіло 1 діє на тіло 2, то й тіло 2 діє на тіло 1 (рис. 4.1). На основі кіль-кісного аналізу механічної взаємодії тіл Ньютон виявив дію третього закону динаміки: "На кожну дію завжди є рівна й протилежна протидія”, або Рис.4.1 інакше, взаємодії одного тіла з іншим між собою рівні й спрямовані в протилежні сторони:

(4.18)

де - сила, що діє на 1-ше тіло з боку 2-го; – сила, що діє на 2-ге тіло з боку першого тіла. З урахуванням визначення поняття сили третій закон механіки може бути сформульований так: "Два тіла взаємодіють із силами, однаковими за величиною та протилежними за напрямком", або "Кожній дії є рівна протидія".

Із третього закону Ньютона випливає, що при механічній взаємодії тіл сили виникають попарно.

Третій закон Ньютона точно діє у випадку контактних взаємодій, а також при взаємодії тіл на деякій відстані, якщо вони не рухаються одне відносно одного.

У випадках руху одного тіла відносно іншого за відсутності контакт-ної взаємодії третій закон Ньютона в ряді випадків не діє при великих швидкостях руху і діє в деякому наближенні при малих швидкостях.

Приклад невиконання третього закону Ньютона – рух двох зарядів з швидкостями, що не лежать на одній прямій (рис.4.2).

Рухомий заряд - утворює магнітне поле з індукцією

На заряді , крім сили , рівної силі , діє сила

На заряд - у розглянутому тут випадку діє тільки сила . Друга складова для нього дорівнює нулю. При малій швидкості руху за-ряду сила Лоренца нескінченно мала й третій закон Ньютона з деяким набли-женням виконується.

Кожний із законів Ньютона, що виражає певну сутність матеріального світу, має кілька форм, тобто кілька способів вираження свого Рис. 4.2. змісту. Це зумовлено розвитком процесу пізнання.

Усі закони динаміки не враховують природу сил. З цієї точки зору вони є універсальними.

 

Принцип відносності Галілея

Нехай у початковий момент часу дві інерціальні системи від-ліку і співпадають (рис. 4.3), а з плином часу система рухається відносно умовно нерухомої системи з постійною швидкістю так, що осі і збігаються, осі і , а також і попарно паралельні між собою. Знайдемо зв'язок між координатами матеріальної точки в системах і у будь-який момент часу (рис. 4.3). Якщо вважати, що час в обох системах відліку плине однаково, тобто що , то:

 

 

Рис. 4.3

 

Систему рівнянь (4.19) називають перетвореннями Галілея. Вони дають змогу одержати закон руху відносно однієї з інерціальних систем, якщо він відомий відносно іншої, шляхом заміни відповідних координат.

Якщо при система рухається в довільному напрямку відносно , то перетворення Галілея набирають вигляду:

(4.20)

Перетворення Галілея застосовні в області механіки малих швидкостей і не застосовуються в механіці великих швидкостей, оскільки при великих швидкостях процесів час у різних інерціальних системах відліку плине неоднаково, тобто . Продиференціювавши за часом рівняння (4.19) і (4.20), знайдемо зв’язок між швидкостями точки Р відносно систем і відповідно:

Якщо і , то і , тобто якщо точка Р відносно системи рухається рівномірно і прямолінійно, а сама система відносно рухається теж рівномірно і прямолінійно, то і точка Р від-носно системи рухається рівномірно і прямолінійно. Ми дійшли виснов-ку, що перший закон Ньютона виконується у всіх інерціальних системах відліку.

Якщо , а , тоді і тобто відносно неінерціальних систем відліку перший закон Нью­тона не виконується.

Продиференціювавши рівняння за часом, знайдемо зв'я-зок між прискореннями точки Р відносно розглянутих систем відліку:

(4.22)

Якщо , тобто якщо система відносно системи рухається нерівномірно (системи взаємно неінерціальні), то сила, яка діє на точку Р, різна в різних системах відліку:

,

і другий закон Ньютона (як і перший) не виконується відносно системи . Я Якщо , то і , тобто другий закон Ньютона вико-нується відносно різних інерціальних систем відліку.

З співвідношень і знаходимо:

(4.23)

Таким чином, рівняння Ньютона для матеріальної точки, а отже, і для довільних систем матеріальних точок, однакові у всіх інерціальних систе-мах відліку. Це твердження називають механічним принципом відносності або принципом відносності Галілея, який встановив цей принцип, і часто формулюють цей принцип у такий спосіб: "Всі механічні явища у всіх інер-ціальних системах відліку протікають однаковим чином”. Отже, всі ці сис-теми рівноправні. Ніякими механічними дослідами, виконаними в межах цих систем, неможливо встановити, чи перебуває дана система в стані спо-кою, чи рухається рівномірно і прямолінійно, тобто неможливо виділити з інерціальних систем відліку яку-небудь головну, відносно якої механічний рух і спокій можна було б розглядати як "абсолютні".

Збереження виду рівняння при заміні в ньому координат і часу однієї системи відліку координатами й часом іншої системи називається інварі-антістю рівняння. З огляду на це, принцип відносності Галілея можна сфор-мулювати таким чином: "Всі рівняння Ньютона, що виражають закони ме-ханіки, інваріантні стосовно перетворень Галілея”.