Каноническое распределение Гиббса для системы в термостате.

распределение вероятностей состояний статистического ансамбля систем, к-рые находятся в тепловом равновесии со средой (термостатом) и могут обмениваться с ней энергией при пост. объёме и пост. числе ч-ц.

Плотность распределения:

где X {\displaystyle X} совокупность {\displaystyle 6N} 6N канонических переменных N {\displaystyle N} частиц ({\displaystyle 3N} 3N координат и 3N {\displaystyle 3N} импульсов), {\displaystyle a} a - совокупность внешних параметров, H(X,a) {\displaystyle H(X,a)} — гамильтониан системы, {\displaystyle \beta }- параметр распределения.

Большая статистическая сумма и термодинамический потенциал.

Статистическая сумма Z. Она является функцией температуры и других параметров, таких как объём.

Каноническая статистическая сумма — это , где обратная температура определена как , k — это постоянная Больцмана.

Смысл и значимость

Статистическая сумма может быть использована для расчёта термодинамических величин, поскольку она имеет очень важный статистический смысл. Вероятность, с которой система находится в микросостоянии, равна

 

Идеальный газ.

Модель идеального газа.

1) потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией;

2) суммарный объём молекул газа пренебрежимо мал;

3) между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги;

4) время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Равновесное пространственное распределение частиц идеального газа.

В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты в соответствии с законом распределения Больцмана:

где n - концентрация молекул на высоте h,R - постоянная Больцмана, П - потенциальная энергия

Биномиальным распределением (распределение Бернулли): в объеме будет обнаружено частиц из

Биномиальное распределение (распределение Бернулли) – распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытания если вероятность появления этого события равна .

Свойства биномиального распределения.

1) Нормировка

Поскольку , то

т.е. полная вероятность – вероятность обнаружения в малом объеме какого-либо числа частиц (от нуля до включительно) – нормирована на единицу.

2) Максимум вероятности.

Ясно, что вероятность состояния с очень малыми или при фиксированных и очень мала, т.к. при этом или .

Т.е. максимум вероятности должен находиться при некоторых промежуточных значениях .

Распределения Пуассона и Гаусса. Флуктуации.

Бином Ньютона выражается формулой . Если и , то бином Ньютона превращается в биноминальное распределение

. Биноминальное распределение соответствует распределению вероятности того, что при испытаниях рассматриваемое событие (имеющее вероятность ) реализуется раз. В случае больших и воспользуемся формулой Стирлинга, получим . Дифференцируя это выражение по и приравнивая к нулю, получим , где ₀– соответствует максимуму биноминального распределения.

Распределение Пуассона: В случа и можно воспользоваться формулой Стирлинга

В пределе получим

- распределение Пуассона.

Распределение Гаусса: Прологарифмируем распределение Пуассона, получим

или пользуясь формулой Стирлинга _. Разложим последнее выражение в ряд Тейлора вблизи точки m=m₀, ограничиваясь квадратичным членом, получим

или - называется распределением Гаусса

Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Менделеева — Клапейрона или уравнение Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

{\displaystyle p\cdot V_{M}=R\cdot T}— закон Бойля — Мариотта.

— Закон Гей-Люссака.

— закон Шарля

Статистика идеального газа.

Распределение молекул газа по скоростям. На основании теории вероятности Максвелл установил закономерность, по которой можно определить число молекул газа, скорости которых при данной температуре заключены в некотором интервале скоростей. Определяются функцией распределения Максвелла:

где - масса молекулы, - число молекул в единице объема. Отсюда следует, чтсг число молекул, абсолютные значения скоростей которых лежат в интервале от до , имеет вид

Распределение Максвелла достигает максимума при скорости , т.е. такой скорсти, к которой близки скорости большинства молекул.